 | WIZさん、ご意見ありがとうございます。
2点ほど質問させてください。
> n = 15で、隣接2数の和が平方数になる場合はピタゴラス数3^2+4^2 = 5^2に関係している
> ような気がします。n = 15, 2y = n+1, x = 3, z = 5とすれば、x^2+(2y)^2 = z^2です。
2y = 4, (2y)^2 = 16 = n+1ではないでしょうか？
> 定義域も値域も非負整数である関数f(x)で、f(x)+f(y) = f(z)となる x,y,zが存在すれば
> 隣接2数の和がf(x)の値域となるようなnが存在するといえるのかもしれません。
定義域も値域も自然数である関数f(x)ではないでしょうか？
非負整数ということにしてしまうと、f(x) = x^3もx^3+0^3 = x^3とf(x)+f(y) = f(z)となる
x,y,zが存在することになってしまいます。
WIZさんの予想について以下のように理解しましたが間違いがあればご指摘ください。
(1)定義域も値域も自然数である関数f(x)がある。
(2)集合A(f)を以下で定義します。
{n|nは2以上の自然数で、1からnまでの自然数を上手く並べると隣接するどの2数の和もf(x)の値域にできる}
WIZさんの予想とその予想の対偶はx,y,zを自然数として、
{∃x,y,z (f(x)+f(y) = f(z))} ⇒ {A(f) ≠ φ}
{A(f) = φ} ⇒ {∀x,y,z (f(x)+f(y) ≠ f(z))}
ということですよね？
決して狙ったわけではないのですが、別スレで3角数が2つの3角数の和になる場合の質問をしました。
f:x→x*(x+1)/2ならば、f(x)+f(y) = f(z)となる x,y,zは無数に存在するのと、
A(f:x→x*(x+1)/2) ≠ φというのも関係あるかもということですね？
もうひとつ、15 ∈ A(f:x→x^2)の一般項がピタゴラス数3^2+4^3 = 5^2 = x^2+(2y)^2 = z^2に
関係してるという部分も大変興味深いです。
{a[n]} = {2*y^2, x^2-2y^2, 6y^2-x^2, 2x^2-2y^2,
6y^2-2x^2, 3x^2-6y^2, 10y^2-3x^2, 4x^2-6y^2,
10y^2-4x^2, 5x^2-10y^2, 14y^2-5x^2, 6x^2-10y^2,
14y^2-6x^2, 7x^2-14y^2, 18y^2-7x^2}
kを非負整数として、a[4k+1] = (4k+2)y^2-(2k)x^2, a[4k+2] = (2k+1)x^2-(4k+2)y^2,
a[4k+3] = (4k+6)y^2-(2k+1)x^2, a[4k+4] = (2k+2)x^2-(4k+2)y^2となっているようです。
a[16] = a[4*3+4] = (2*3+2)*3^2-(4*3+2)*2^2 = 16となって、16 ∈ A(f:x→x^2)の一般項と
なっていますが、その後a[17] = 0, a[18] = 9, a[19] = 7と15 ∈ A(f:x→x^2)の一般項が
逆順に出てくるようです。
ピタゴラス数5^2+12^2 = 13^2を使って、A(f:x→x^2)の元となる自然数が得られるか計算してみます。
x = 5, y = 6, z = 13です。a[1] = 72, a[2] = -11となって、a[2]は自然数とならず、
またa[1]+a[2]も平方数になりません。
つまりピタゴラス数3^2+4^3 = 5^2の場合しか通用しない一般項の式なのかもしれません。
何かご意見があればよろしくお願いいたします。
|