 | a[n+3] = 6a[n+2]-12a[n+1]+8a[n]
⇒ a[n+3]-4a[n+2]+4a[n+1] = 2a[n+2]-8a[n+1]+8a[n] = 2(a[n+2]-4a[n+1]+4a[n])
より、a[n+2]-4a[n+1]+4a[n]は公比2、初項d-4c+4bの等比数列です。
a[n+2]-4a[n+1]+4a[n] = (d-4c+4b)*2^(n-1)となります。
⇒ a[n+2]-2a[n+1] = 2(a[n+1]-2a[n])+(d-4c+4b)*2^(n-1)
上記の両辺を2^(n-1)で割ると、
(a[n+2]-2a[n+1])/(2^(n-1)) = (a[n+1]-2a[n])/(2^(n-2))+(d-4c+4b)
よって、(a[n+1]-2a[n])/(2^(n-2))は公差(d-4c+4b)、初項(a[2]-2a[1])/(2^(-1)) = 2(c-2b)の等差数列です。
(a[n+1]-2a[n])/(2^(n-2)) = 2(c-2b)+(n-1)(d-4c+4b) = (-d+6c-8b)+n*(d-4c+4b)となります。
⇒ a[n+1]/(2^(n-2))-a[n]/(2^(n-3)) = (-d+6c-8b)+n*(d-4c+4b)
f[n] = a[n]/(2^(n-3))、A = -d+6c-8b, B = d-4c+4bとおくと、
f[n+1]-f[n] = A+B*nとなります。
Σ[k=1,n]{f[n+1]-f[n]} = Σ[k=1,n]{A+B*n}
⇒ f[n+1]-f[1] = A*n+B*n*(n+1)/2
⇒ a[n+1]/(2^(n-2)) = a[1]/(2^(1-3))+A*n+B*n*(n+1)/2 = 4b+(-d+6c-8b)*n+(d-4c+4b)*n*(n+1)/2
⇒ a[n+1] = b*2^n+(-d+6c-8b)*n*2^(n-2)+(d-4c+4b)*n*(n+1)*2^(n-3)
⇒ a[n] = b*2^(n-1)+(-d+6c-8b)*(n-1)*2^(n-3)+(d-4c+4b)*(n-1)*n*2^(n-4)
上記の式はn = 1,2,3でも成り立つので、一般項は上記の通りです。
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