 | コンビネーションをC(n,r)と書きます。
問題のC[n]とは別物ですので混乱しないでください。
(x+1/x)^(n+1) = Σ[r=0,n+1]{C(n+1,r)*(x^(n+1-r))*((1/x)^r)} = Σ[r=0,n+1]{C(n,r)*(x^(n+1-2r))}
となります。
x^(-n+3)の係数C[n]は、n+1-2r = -n+3 ⇒ 2n-2 = 2r ⇒ r = n-1ですから、
C[n] = C(n+1,n-1) = n*(n+1)/2です。以下、初心者@頭の中は夏休みさんの解説通りです。
たんくさん
> (x+1)C(r)x^(n+1-r)*(1/x)^r
上記は(n+1)C(r)x^(n+1-r)*(1/x)^rの書き間違いですよね？
> よってC[n]=(n+1)!/(n+1-n+1)!(n-1)!=(n+1)!/2(n-1)!
括弧を使って式を正しく書きましょう。
上記の書き方では、(n-1)!が分母にあるのか分子にあるのか分かりません。
(意地悪な解釈をすれば)演算子の省略は乗算の意味なので、
(n+1)!/(n+1-n+1)!(n-1)! = {(n+1)!/(n+1-n+1)!}*(n-1)!という意味になってしまいますよ。
(n+1)!/{(n+1-n+1)!(n-1)!}と書きましょう。
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