 | 代数方程式Σ[k=0→n](b[k]*x^k) = b[n]*x^n+b[n-1]*x^(n-1)+･･････+b[1]*x+b[0] = 0
(但しb[k]はx^kの係数で、b[n] ≠ 0とします。)
の解{a[1],a[2],・・・,a[n]}と係数の関係は以下の通りです。
Σ[k=1→n]a[k] = -b[n-1]/b[n], Σ[j=1→n-1]{Σ[k=j→n](a[j]*a[k])} = b[n-2]/b[n]
題意の場合、b[n] = 1, b[1] = -p, b[0] = -qで、他のb[k]は0です。
n ≧ 4ですから、n > n-1 > n-2 > 1ですので、b[n-1] = b[n-2] = 0となります。
よって、Σ[k=1→n]a[k] = 0, Σ[j=1→n-1]{Σ[k=j→n](a[j]*a[k])} = 0となります。
以上から、
Σ[k=1→n](a[k]^2) = (Σ[k=1→n]a[k])^2-2*(Σ[j=1→n-1]{Σ[k=j→n](a[j]*a[k])})
= 0^2-2*0 = 0となります。
a[k]^n = -p*a[n]-q, a[k]^(2n) = (-p*a[n]-q)^m = (p^2)*a[n]^2-2pq*a[n]+q^2
ですから、
S2 = Σ[k=1→n](a[k]^(2n)) = Σ[k=1→n]{(p^2)*a[n]^2-2pq*a[n]+q^2}
= (p^2)*(Σ[k=1→n](a[n]^2))-2pq*(Σ[k=1→n]a[n])+n*q^2
= (p^2)*0-2pq*0+n*q^2 = n*q^2
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