 | sin(x) = 2*cos(3x) = 2*(4*cos(x)^3-3*cos(x)) = 2*cos(x)*{1-4*sin(x)^2}・・・・・(1)
tan(x/2) = tとおくと、sin(x) = 2t/(1+t^2), cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2)
これらを(1)に代入すると、
2t/(1+t^2) = 2(1-t^2)/(1+t^2)*{1-4*(2t^2)/(1+t^2)^2}
⇒ 2t*(1+t^2)^2 = 2(1-t^2)*{(1+t^2)^2-4*(2t^2)} = 2(1-t^2)(1-6t^2+t^4)
⇒ t*(1+t^2)^2 = (1-t^2)(1-6t^2+t^4)
⇒ t*(1+2t^2+t^4) = 1-7t^2+7t^4-t^6
⇒ 1-t-7t^2-2t^3+7t^4-t^5-t^6 = 0・・・・・(2)
t ≠ 0ですから、相反方程式(2)をt^3で割ると
(1/t^3-t^3)-(1/t^2+t^2)-7(1/t-t)-2 = 0・・・・・(3)
y = 1/t-tとおくと、
y^2 = 1/t^2-2+t^2 ⇒ 1/t^2+t^2 = y^2+2
y^3 = 1/t^3-3/t+3t-t^3 ⇒ 1/t^3-t^3 = y^3+3y
これらを(3)に代入すると、
(y^3+3y)-(y^2+2)-7y-2 = y^3+y^2-4y-4 = (y+1)(y^2-4) = 0
よって、y = -1,2,-2となります。
y = 1/t-tより、t^2+yt-1 = 0 ⇒ t = (-y±√(y^2+4))/2
y = -1の場合、t = (1±√5)/2
y = 2の場合、t = (-2±√8)/2 = -1±√2
y = -2の場合、t = (2±√8)/2 = 1±√2
後は、t = tan(x/2) = (1±√5)/2, -1±√2, 1±√2となる6個のxの値が求まるかどうかですね。
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