数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: 不等式の証明 / Page: 0]

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■35404 / inTopicNo.1)

　不等式の証明

□投稿者/ sumika 一般人(1回)-(2008/09/03(Wed) 11:05:36)

お願いします。

nを2以上の自然数、a[1],a[2],a[3],・・・,a[n]は全て1より小さい正の実数とする。
A[n]=(Σ[k=1→n]a[k])-(Π[k=1→n]a[k])とするとき、0<A[n]<n-1であることとを示せ。

解き方を教えてください。

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■35406 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 不等式の証明

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□投稿者/ サボテン大御所(295回)-(2008/09/03(Wed) 11:29:12)

0<A[n]は示せると思います。
A[n]<n-1は帰納法で示します。

nでA[n]<n-1が成り立つと仮定します。

n+1では、Σ[k=1→n+1]a[k]-Π[k=1→n+1]a[k]
=a[n+1]+Σ[k=1→n+1]a[k]-Π[k=1→n]a[k]+Π[k=1→n]a[k](1-a[n+1])・・・①
ここで、帰納法の仮定を用いると、
①<a[n+1]+n-1+Π[k=1→n]a[k](1-a[n+1])
=n+(1-a[n+1])[Π[k=1→n]a[k]-1)<n

よって帰納法が成立します。

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■35410 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 不等式の証明

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□投稿者/ sumika 一般人(2回)-(2008/09/03(Wed) 12:54:44)

サボテンさんご指導ありがとうございます。

もう少し詳しく聞きたいのですが、数学的帰納法を使うので
(1)n = 2のとき成り立つ。
(2)n = kのとき成り立つならば、n = k+1ときも成り立つ。
の両方を示す必要があると思います。

(2)はサボテンさんのご指導で大体分かりました。
(1)はどのように示すのでしょうか。

あと0<A[n]であることは何となく分かるのですが、上手く数式で書けません。
できたらこちらもよろしくお願いします。

あと、相加平均≧相乗平均の関係を使えば証明できるかもしれないと友人が
言っていたのですが、可能でしょうか。

たくさん質問してしまいすみません。

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■35411 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 不等式の証明

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□投稿者/ 初心者@頭の中は夏休み一般人(9回)-(2008/09/03(Wed) 13:38:29)

2008/09/03(Wed) 13:43:31 編集(投稿者)
2008/09/03(Wed) 13:41:12 編集(投稿者)

横から失礼します
(1) $2$n=2$ のとき，
$2$A_{2}=(a_{1}+a_{2})-(a_{1}\times{a_{2}})=1-(1-a_{1})(1-a_{2})$
よって $2$0<A_{2}<1$
ついでに $2$0<A_{n}$ であること（(1)も利用）
$2$n=i(i\geq2)$ のとき $2$0<A_{i}$ を仮定すると，
$2$\displaystyle A_{i+1}=\sum_{k=1}^{i+1}a_{k}-\prod_{k=1}^{i+1}a_{k}=\sum_{k=1}^{i}a_{k}+a_{i+1}-\prod_{k=1}^{i}a_{k}=A_{i}+(1-a_{i+1})\prod_{k=1}^{i}a_{k}+a_{i+1}>A_{i}>0$

よって $2$n\geq{2}$ に対して $2$0<A_{n}$ が成り立つ。 $2$A_{n}<n-1$ は上の方のとおり

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■35422 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 不等式の証明

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□投稿者/ WIZ ベテラン(224回)-(2008/09/03(Wed) 16:27:27)

> 初心者@頭の中は夏休みさん

0 < A[n]は、もっと簡単に示すことができますよ。
数学的帰納法を使うまでもありません。

nは2以上の自然数ですから、n-1は自然数であることに注意して、
A[n] = (Σ[k=1→n]a[k])-(Π[k=1→n]a[k])
= (Σ[k=1→n-1]a[k])+a[n]-(Π[k=1→n-1]a[k])*a[n]
= (Σ[k=1→n-1]a[k])+a[n]*{1-(Π[k=1→n-1]a[k])}

0 < Σ[k=1→n-1]a[k], 0 < a[n]ですし、0 < Π[k=1→n-1]a[k] < 1から0 < 1-(Π[k=1→n-1]a[k])ですね。
よって0 < A[n]です。

或いは、0 < A[n] < n-1を同時に数学的帰納法で示すこともできますね。
(1)n = 2の場合、初心者@頭の中は夏休みさんの示された通り。
A[2] = a[1]+a[2]-a[1]*a[2] = 1-(1-a[1])(1-a[2])
0 < 1-a[1] < 1, 0 < 1-a[2] < 1より、0 < 1-(1-a[1])(1-a[2]) < 1です。

(2)A[n+1] = (Σ[k=1→n]a[k])-(Π[k=1→n]a[k])
= (Σ[k=1→n-1]a[k])+a[n]-(Π[k=1→n-1]a[k])*a[n]
= {(Σ[k=1→n-1]a[k])-(Π[k=1→n-1]a[k])}+{(Π[k=1→n-1]a[k])+a[n]-(Π[k=1→n-1]a[k])*a[n]}
= A[n]+{(Π[k=1→n-1]a[k])+a[n]-(Π[k=1→n-1]a[k])*a[n]}

ここで、0 < Π[k=1→n-1]a[k] < 1ですから、
(1)より、0 < (Π[k=1→n-1]a[k])+a[n]-(Π[k=1→n-1]a[k])*a[n] < 1です。

よって、0+0 < A[n+1] < (n-1)+1 = nとなります。

相加相乗平均を使う方法は可能かどうか分かりませんが、個人的には興味があります。

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■35427 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 不等式の証明

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□投稿者/ sumika 一般人(4回)-(2008/09/03(Wed) 17:36:00)

初心者@頭の中は夏休みさん、WIZさんご指導ありがとうございます。

友達は相加平均≧相乗平均の関係を使えば証明できるかもと思ったらしいですが、
その友人もまだ証明には成功していないみたいです。

とりあえず自分では理解できたつもりなので解決済みとさせて頂きます。

ご指導くださった皆さん、本当にありがとうございましたm(_ _)m

解決済み!

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■35449 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 不等式の証明

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□投稿者/ 初心者@頭の中は夏休み一般人(12回)-(2008/09/04(Thu) 07:31:50)

2008/09/04(Thu) 08:03:20 編集(投稿者)

> WIZ さん
ほんとだw。
って自分も帰納法の中で同じことやってんのに気づきませんでした･･･orz

まだまだ頭の中は夏休みですわ

相加相乗平均の関係を使うとすると，
$2$\displaystyle n\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}a_{k}}-\prod_{k=1}^{n}a_{k}\geq0$
を示すことになると予想したんですけど，いかがでしょ？

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