数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 円運動 / Page: 0]

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■35346 / inTopicNo.1)

　円運動

□投稿者/ army 一般人(1回)-(2008/09/01(Mon) 12:45:13)

質量が無視できる長さa[m]の棒の先端に質量m[kg]の錘がくっついている。
錘でないほうの端を釘にさして、半径aの円運動が自由にできるようにする。
今錘を釘の真上に持ってきて静止させておき、静かに放す。
ここを基準にしたとき、棒が動き出してからの回転角度がθになるまでの
時間を求めよ。

単振動と違って、円運動での自由落下なので考え方がよくわかりません。
加速度はどの向きに働くのでしょうか。
時間を求めるまでの過程を詳しく教えていただけないでしょうか。

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■35348 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 円運動

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□投稿者/ WIZ ベテラン(213回)-(2008/09/01(Mon) 13:28:00)

見かけ上回転運動でも、先端の錘が自由落下していることには変わらないので
錘が真上のときの角度を0, 高さを+aとすると、
角度θの時の高さはh = a*cos(θ)です。
一方、重力加速度をg, 時間をtとすると、h = a-(1/2)*g*t^2です。
以上から、a*cos(θ) = a-(1/2)*g*t^2となると思います。

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■35349 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 円運動

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□投稿者/ army 一般人(2回)-(2008/09/01(Mon) 13:44:35)

さっそくありがとうございます。
自分もそう考えたのですが、なぜ自由落下として考えていいのでしょうか。
基本的なことなのですが、そこがもやもやしていて困っています。
もう一度お願いいたします。

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■35350 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 円運動

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□投稿者/ 豆付き人(71回)-(2008/09/01(Mon) 14:02:22)

これはすっきり解ける問題なのですか？　かなり大変な気がしますが。

自由落下で考えるのは、いくらなんでも無理でしょう。
棒からの拘束(仕事)が無視されることになる。
これが成立するなら、よーいどんで一緒に自由落下させたものと、
同時に真下に来ることになりますよね。
寄り道している棒の先とは一緒にならないですよね。

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■35352 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 円運動

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□投稿者/ 豆付き人(72回)-(2008/09/01(Mon) 14:31:11)

私の感じでは以下の微分方程式を解くことになるのでは？と思います。
私には解けません。何らかの近似などで行けるのかもしれませんが・・・

棒からの拘束力をT、質点の速度をvとすると、
v=aθ’（接線方向）なので、鉛直方向にはv[y]=vsinθ、水平方向にはv[x]=vcosθとなる。
運動方程式は
鉛直方向(下向きを+)；　mdv[y]/dt=mg-Tcosθ
水平方向（回転開始方向+）：　mdv[x]/dt=Tsinθ
よって、ma(θ”sinθ+θ’^2cosθ)=mg-Tcosθ
　　　　　ma(θ”cosθ-θ’^2sinθ)=Tsinθ
この2式からTを消去し、
t=0のときθ=θ'=0の初期条件の下、微分方程式を解くことになる。

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■35354 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 円運動

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□投稿者/ WIZ ベテラン(215回)-(2008/09/01(Mon) 14:43:57)

> 寄り道している棒の先とは一緒にならないですよね。

この場合の棒による拘束は垂直方向の加速度に影響せず、一緒になると思いますが、
あまり自信はありませんので、物理学板で質問した方が良いかもしれませんね。

# 例えば、水平方向に打ち出された玉と、垂直に落下する玉で、
# 初期の高さが同じなら着地に要する時間は同じはずです。
# 勿論、地面は水平で、何時でも重力は真下方向に一定に働き、
# 空気その他の摩擦や揚力は無視してなど、物理的には非現実ですが。

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■35355 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 円運動

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□投稿者/ 豆付き人(73回)-(2008/09/01(Mon) 15:29:31)

（接触している棒が質点とともに自由落下しない限り、）
拘束されている棒からの力は質点の運動に必ず影響します。

水平打ち出しの球の運動は鉛直方向には自由落下で、今回の
テーマの例えにはならないでしょう。

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■35356 / inTopicNo.8)

　Re[1]: 円運動

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□投稿者/ 米米一般人(1回)-(2008/09/01(Mon) 16:46:09)

$2$ \begin{array}{l} m{\bf \ddot x} = m{\bf g} + {\bf T} \\ {\bf x} = a{\bf e}_r \\ {\bf v} = {\bf \dot x} = a\dot \theta {\bf e}_\theta \\ {\bf \ddot x} = a\ddot \theta {\bf e}_\theta - a\dot \theta ^2 {\bf e}_r \\ {\bf g} = - g\cos \theta {\bf e}_r + g\sin \theta {\bf e}_\theta \\ {\bf T} = - T{\bf e}_r \\ a\ddot \theta {\bf e}_\theta - a\dot \theta ^2 {\bf e}_r = - g\cos \theta {\bf e}_r + g\sin \theta {\bf e}_\theta - \frac{T}{m}{\bf e}_r \\ a\dot \theta ^2 = g\cos \theta + \frac{T}{m} \\ a\ddot \theta = g\sin \theta \\ \end{array}$
第1式は反力Tを決める式
第２式を解く。
$2$ \phi {\rm = }\pi - \theta$
とおけば
$2$ \begin{array}{l} \ddot \phi {\rm = } - \ddot \theta \\ \sin \theta = \sin \phi \\ \ddot \phi = - \omega ^2 \sin \phi \\ \end{array}$
で楕円関数になる。

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■35359 / inTopicNo.9)

　Re[2]: 円運動

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□投稿者/ army 一般人(3回)-(2008/09/01(Mon) 20:20:42)

2008/09/01(Mon) 20:21:34 編集(投稿者)
2008/09/01(Mon) 20:21:29 編集(投稿者)

皆さん、議論していただきありがとうございます。
豆さんがおっしゃるのをみますと、どうもそのような気がします。
WIZさんの意見も参考になりました。ありがとうございます。

ところで豆さんの微分方程式の話はわかりましたが、
米米さんの記事が気になります。楕円関数の話はなんとか知っているのですが、
示された式の意味がよくわかりません。お手数なのですが、教えていただけませんか。

ところで物理の掲示板に載せてもマルチにはなりませんか。

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■35361 / inTopicNo.10)

　Re[3]: 円運動

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□投稿者/ ip 一般人(9回)-(2008/09/01(Mon) 20:56:56)

マルチを気にするくらいの気遣いができるかたなのであれば、もう一歩進んで「ここでのやり取りを終了する旨と移動先を明示して移動」することを検討されるというのは如何でしょう。

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■35382 / inTopicNo.11)

　Re[1]: 円運動

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□投稿者/ 米米一般人(4回)-(2008/09/02(Tue) 15:09:31)

式は、ベクトルを極座標の成分であらわしただけ。

角度を最下点からとり[φ=πーθのφ]
φ<90から円形状の壁面状で質点を転がす問題にすれば、
いわゆる単振動の問題で
$2$ \ddot \phi = - \omega ^2 \sin \phi$
で楕円関数になる。
微小振動の時で、
$2$ \sin \phi \approx \phi$
と近似すれば、
$2$ \ddot \phi + \omega ^2 \phi = 0$
で単振動の式。

ちなみに、デカルト座標の成分から導いた式で、
ma(θ”sinθ+θ’^2cosθ)=mg-Tcosθ
ma(θ”cosθ-θ’^2sinθ)=Tsinθ
この2式からTを消去すれば
aθ”=mgsinθ
となって同じ式になる。

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■35428 / inTopicNo.12)

　Re[4]: 円運動

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□投稿者/ army 一般人(4回)-(2008/09/03(Wed) 17:42:03)

2008/09/03(Wed) 17:42:17 編集(投稿者)

みなさんコメントありがとうございました。
別の掲示板にて質問させていただきます。

解決済み!

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