 | f(x) = x^3-3x^2-pとおきます。
f(x) = 0が異なる3個の実数解を持つためには、
f(x)が極大と極小を持ち、極大値が正で、極小値が負であれば良いです。
f'(x) = 3x^2-6x = 3x(x-2)ですから、x = 0で極大、x = 2で極小です。
α < 0 < β < 2 < γとなります。
# f(0) = p > 0, f(2) = 2^3-3*2^2+p = p-4 < 0より、0 < p < 4となります。
根と係数の関係より、α+β+γ = 3, αβ+βγ+γα = 0, αβγ = p
⇒ γα = -β*(α+γ) = -β*(3-β)
(γ-α)^2 = (γ+α)^2-4γα = (3-β)^2-4*{-β*(3-β)}
= (3-β)(3-β+4β) = (3-β)(3+3β) = 9+6β-3β^2
0 < β < 2で、g(β) = 9-6β-3β^2とおくと、g'(β) = 6-6βです。
0 < β < 1で、g'(β) > 0なので、g(β)は増加します。g(0) = 9(β = 0は定義域外ですが)
β = 1で、g'(β) = 0なので、g(β)は極大で、g(1) = 12
1 < β < 2で、g'(β) < 0なので、g(β)は減少します。g(2) = 9(β = 2は定義域外ですが)
よって、9 < g(β) = (γ-α)^2 < 12となります。
以上から、3 < γ-α < 2√3となります。
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