 | あまり厳密な説明ではないですが、以下のように考えれば良いです。
例はx→0になっていますが、任意の定数aについてx→aでも同じです。
1.
x→0のとき、f(x)→∞, g(x)→∞または、f(x)→0 g(x)→0あるけれども、
lim[x→0]f(x)/g(x) = bという極限があることが分かっているものとします。
このとき、x = 0の近傍でf(x)とg(x)が微分可能であれば、
# x = 0の近傍で、g(x) ≠ 0, g'(x) ≠ 0も必要ですが。
lim[x→0]f'(x)/g'(x)も極限を持ち、その値もbに等しいというのがロピタルの定理です。
(1/f(x))' = -f'(x)/(f(x)^2), (1/g(x))' = -g'(x)/(g(x)^2)ですから、
(1/g(x))'/(1/f(x))' = {-g'(x)/(g(x)^2)}/{-f'(x)/(f(x)^2)} = (g'(x)/f'(x))*(f(x)^2)/g(x)^2)
b ≠ 0の場合、x→0のとき、g'(x)/f'(x)→1/b, f(x)/g(x)→bですから、
lim[x→0](1/g(x))'/(1/f(x))' = (1/b)*(b^2) = bです。
よって、lim[x→0](1/g(x))'/(1/f(x))' = lim[x→0]f'(x)/g(x)'です。
2.
使えます。
例えばf(x) = log(x), g(x) = 1/xとすれば、x→0のとき、f(x)→-∞, g(x)→∞です。
lim[x→0]f(x)/g(x) = lim[x→0]f'(x)/g'(x) = lim[x→0](1/x)/(-1/x^2) = lim[x→0](-x) = 0
|