 | # 問題を省略せず全部書いてくれた方が回答し易いです。
xは正の実数として回答します。
f(x) = {√(x+√(x^4+1))+(√2)x}{√(x^4+1)+x^2}となっていますが、答えと合わないので、
f(x) = {√(x^2+√(x^4+1))+(√2)x}{√(x^4+1)+x^2}の書き間違いですよね?
以下、書き間違いと仮定して回答します。
正の実数a,bに対して、(√a)/b = √(a/(b^2))です。
f(x)/(x^3) = {√(x^2+√(x^4+1))+(√2)x}/x*{√(x^4+1)+x^2}/(x^2)
ここで
{√(x^2+√(x^4+1))+(√2)x}/x = √((x^2+√(x^4+1))/(x^2))+(√2)x/x
= √(1+√((x^4+1)/(x^4)))+(√2)
= √(1+√(1+1/(x^4)))+√2
また
{√(x^4+1)+x^2}/(x^2) = √((x^4+1)/(x^4))+(x^2)/(x^2)
= √(1+1/(x^4))+1
よって、
f(x)/(x^3) = {√(1+√(1+1/(x^4)))+(√2)}{√(1+1/(x^4))+1}
計算すると、4√2ということはx = 定数とするということですよね?
逆算すると、
{√(1+√(1+1/(x^4)))+√2}{√(1+1/(x^4))+1} = 4√2
1+√(1+1/(x^4)) = tとおくと、{√t+√2}{t} = 4√2
目視で、t = 2が上記を満たすことがわかります。
√t = zとおくと、z^3+(√2)z^2-4√2 = (z-√2)(z^2+(2√2)z+4)
tは正の実数であることからzは実数であり、z^2+(2√2)z+4 = 0は実解を持たないことから、
t = 2のみであることが分かります。
1+√(1+1/(x^4)) = 2とすると、√(1+1/(x^4)) = 1より、1+1/(x^4) = 1です。
よって1/(x^4) = 0となり、x→±∞のときのf(x)/(x^3)の極限ということでしょうか?
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