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■35293 / inTopicNo.1)

　ラマヌジャンの式

□投稿者/ ロボ一般人(15回)-(2008/08/29(Fri) 09:07:00)

ラマヌジャンが発見したといわれている以下の式
Σ[k=1,∞]{1/((k^3)*(k+1)^3)} = 10-π^2・・・・・・・・・・(1)

オイラーが発見したといわれている以下の式
Σ[k=1,∞]{((-1)^(k+1))/((2k+1)^3) = (π^3)/32・・・・・・・・・・(2)

両者は何等かの関係があるような気がするのですが糸口すら掴めていません。
またζ(3) = Σ[k=1,∞]{1/(k^3)}にも関係しているかもしれません。

どんなことでも構わないので、お気付きの点を教えてください。
また(1)のラマヌジャンの式について詳しいことが記載されている本とかホームページを
ご存知でしたら教えてください。

よろしくお願いいたします。

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■35294 / inTopicNo.2)

　Re[1]: ラマヌジャンの式

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□投稿者/ WIZ ベテラン(204回)-(2008/08/29(Fri) 10:13:19)

# ζ(3)の値の閉じた表現(?)を見つけようとしていますか?

1/(k*(k+1)) = 1/k-1/(k+1)ですから、

1/((k^3)*(k+1)^3)
= {1/k-1/(k+1)}^3
= 1/(k^3)-3/((k^2)*(k+1))+3/(k*(k+1)^2)-1/((k+1)^3)
= {1/(k^3)-1/((k+1)^3)}-3/(k*(k+1))*{1/k-1/(k+1)}
= {1/(k^3)-1/((k+1)^3)}-3{1/k-1/(k+1)}^2
= {1/(k^3)-1/((k+1)^3)}-3{1/(k^2)-2/(k*(k+1))+1/((k+1)^2)}
= {1/(k^3)-1/((k+1)^3)}-3{1/(k^2)+1/((k+1)^2)}+6{1/k-1/(k+1)}

上記を用いて(1)の式を書き替えると、
Σ[k=1,∞]{{1/(k^3)-1/((k+1)^3)}-3{1/(k^2)+1/((k+1)^2)}+6{1/k-1/(k+1)}}
= {1/(1^3)}-3{2ζ(2)-1/(1^2)}+6{1/1}
= 1-6ζ(2)+3+6 = 10-π^2

となって、(2)の式やζ(3)とは無関係な式(値)なのかもしれませんね。

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■35304 / inTopicNo.3)

　Re[2]: ラマヌジャンの式

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□投稿者/ ロボ一般人(16回)-(2008/08/29(Fri) 22:30:37)

WIZさんお返事ありがとうございます。

簡単な式変形でζ(2)のみを含む値であることが示せるのですね。
このラマヌジャンの式とζ(3)やオイラーの式との関係を調べるのは無理みたいですね。

ラマヌジャンの式Σ[k=1,∞]{1/((k^3)*(k+1)^3)} = 10-π^2はネットで見つけたのですが解説がありませんでした。
どのような思考過程でこの式に到達したのかが知りたいです。

ご指摘の通りζ(3)の値を含むゼータ関数全般に興味があります。
また何かお気付きのことがありましたら教えてください。

よろしくお願いいたします。

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