数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[14]: 計算と答えをお願いします。。。 / Page: 0]

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■35272 / inTopicNo.1)

　計算と答えをお願いします。。。

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□投稿者/ hiro 一般人(2回)-(2008/08/28(Thu) 11:42:50)

次の不定積分を求めよ
1．∫(x/3+8)^3dx
2.∫x/√(x+3)dx
3.∫(3x+7)e^2xdx　です。わかる方いたらお願いします。。。

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■35273 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 計算と答えをお願いします。。。

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□投稿者/ Ｎ軍団(100回)-(2008/08/28(Thu) 13:32:51)

計算と答えは…私がヒントを書くので、それを参照していただいて、考えてもらってから判断してください。
ヒントでもわからないようでしたら、書きます。

１．
これはx/3+8をｔと置換して計算すれば楽だと思います。するとx=3t-24、dx=3dtで計算してみましょう。

２．
これは√(x+3)をｔとおいてみましょう。すると、x=t^2-3、dx=2t*dtですね。これを代入して計算してみましょう。

３．
∫(3x+7)e^2xdxは部分積分法で。e^2x=(1/2*e^2x)'より、
∫(3x+7)e^2xdx＝[(3x+7)*(1/2*e^2x)]－3/2∫e^2x*dxですね。後は計算です。

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■35274 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 計算と答えをお願いします。。。

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□投稿者/ 一郎一般人(2回)-(2008/08/28(Thu) 16:37:22)

1．
$2$ \displaystyle\int {\left( {\frac{x}{3} + 8} \right)^3 dx = \frac{3}{4}} \left( {\frac{x}{3} + 8} \right)^4 + C$

2
$2$ \begin{array}{l} \frac{x}{{\sqrt {x + 3} }} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt {x + 3} }} - \frac{3}{{\sqrt {x + 3} }} = \sqrt {x + 3} - \frac{3}{{\sqrt {x + 3} }} \\ \displaystyle\int {\frac{x}{{\sqrt {x + 3} }}dx = \frac{2}{3}} \left( {x + 3} \right)\sqrt {x + 3} - 6\sqrt {x + 3} + C \\ \end{array}$

3.
∫(3x+7)e^2xdx

$2$ f = \frac{3}{2}x + a$
とおくと、
$2$ \begin{array}{l} 2f + f' = 3x + 7 \\ a = \frac{{11}}{4} \\ \displaystyle\int {\left( {3x + 7} \right)e^{2x} dx} = \left( {\frac{3}{2}x + \frac{{11}}{4}} \right)e^{2x} + C \\ \end{array}$

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■35409 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 計算と答えをお願いします。。。

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□投稿者/ hiro 一般人(3回)-(2008/09/03(Wed) 12:38:01)

みなさんありがとうございます。
置換ってなんすか？　頭が良くないので。。。

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■35412 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 計算と答えをお願いします。。。

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□投稿者/ Ｎ軍団(109回)-(2008/09/03(Wed) 13:39:47)

置き換えるという意味です。
(1)であれば、x/3+8をｔと置き換えて楽に積分することを、置換積分と言います。

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■35423 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 計算と答えをお願いします。。。

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□投稿者/ hiro 一般人(4回)-(2008/09/03(Wed) 17:08:41)

なるほどー　ありがとうございます。

置換してｔ＾３　だと4/1ｔ＾４　じゃないんでしょうか。。。

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■35432 / inTopicNo.7)

　Re[2]: 計算と答えをお願いします。。。

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□投稿者/ Ｎ軍団(111回)-(2008/09/03(Wed) 19:06:27)

(4/1)t^4とすると、これを逆に微分すると16t^3となってしまいますよ。
ですから、(1/4)t^4ですね。

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■35433 / inTopicNo.8)

　Re[3]: 計算と答えをお願いします。。。

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□投稿者/ hiro 一般人(6回)-(2008/09/03(Wed) 19:27:51)

あ、すいません　そうですそう言いたかったです。

それだと　1/4(x/3+8)^4　となるんですが

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■35434 / inTopicNo.9)

　Re[4]: 計算と答えをお願いします。。。

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□投稿者/ Ｎ軍団(112回)-(2008/09/03(Wed) 19:45:19)

それはですね、実は合成関数の場合、中身のx/3+8も微分しないといけないんですね。
つまりx/3+8を微分すると1/3が出てきます。これの辻褄合わせに3をかけるので、3/4(x/3+8)^4となるんです。

＞これはx/3+8をｔと置換して計算すれば楽だと思います。するとx=3t-24、dx=3dtで計算してみましょう。

この方法でやると、
∫(x/3+8)^3dx＝∫t^3*3dt＝3∫t^3*dt＝3/4*t^4で、3/4*(x/3+8)^4となりますね。

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■35458 / inTopicNo.10)

　Re[5]: 計算と答えをお願いします。。。

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□投稿者/ hiro 一般人(7回)-(2008/09/04(Thu) 12:06:31)

∫(x/3+8)^3dx＝∫t^3*3dt＝3∫t^3*dt＝3/4*t^4で、3/4*(x/3+8)^4となりますね。

二番目のところの3がどうしてでてくるのでしょうか？　辻褄合わせ。。。

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■35459 / inTopicNo.11)

　Re[6]: 計算と答えをお願いします。。。

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□投稿者/ Ｎ軍団(114回)-(2008/09/04(Thu) 12:39:58)

dx=3dtの３です。

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■35460 / inTopicNo.12)

　Re[7]: 計算と答えをお願いします。。。

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□投稿者/ hiro 一般人(8回)-(2008/09/04(Thu) 12:44:31)

dxっていうのは3になるんですか？

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■35461 / inTopicNo.13)

　Re[8]: 計算と答えをお願いします。。。

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□投稿者/ VMW 一般人(2回)-(2008/09/04(Thu) 13:00:08)

置換積分の基礎が全く分かっていらっしゃらないようなので、
まずは教科書を熟読することをお勧めします。
ご質問されたような問題よりも、もっと簡単な置換積分の問題、例えば
∫(3x+2)^5dx　というようなものから取り組んだほうがいいでしょう。

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■35463 / inTopicNo.14)

　Re[9]: 計算と答えをお願いします。。。

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□投稿者/ Ｎ軍団(115回)-(2008/09/04(Thu) 13:57:32)

やり方をできる限り詳細に書いておきます。
後はVMWさんの仰るように、教科書か参考書の類題を解いたり、教科書を読んで、やり方をマスターしてください。

∫(x/3+8)^3dxを解く。
x/3+8＝ｔとおいて計算したい。
しかし、∫(x/3+8)^3dxにあるdxはあくまでもｘの時に対応しているので、ｔに対応したdtを求めないといけない。
ではどうするか？
x/3+8=tをｔで微分すると、1/3*dx/dt＝1より、dx＝3*dt

後は代入できます。
∫(x/3+8)^3dx＝∫t^3*3*dt＝3∫t^3*dt＝3[1/4*t^4]＝3/4*t^4となるので、最後にt＝x/3+8で元に戻して、
3/4*(x/3+8)^4です。

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■35572 / inTopicNo.15)

　Re[10]: 計算と答えをお願いします。。。

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□投稿者/ hiro 一般人(9回)-(2008/09/08(Mon) 12:57:43)

みなさんありがとうございました。
一番二番はなんとか解けるようになりました！

ただ三番がよくわかりません。eについて詳しく教えてください。。。
たびたびすいません。

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■35591 / inTopicNo.16)

　Re[11]: 計算と答えをお願いします。。。

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□投稿者/ Ｎ軍団(119回)-(2008/09/08(Mon) 22:00:03)

∫(3x+7)e^2xdx＝∫3x*e^2xdx+7∫e^2x*dxとすると、
∫3x*e^2xdx＝3∫x*(e^2x/2)'dx＝3[xe^2x/2]－3∫e^2x/2dx＝3/2[xe^2x]－3/2∫e^2xdx＝3/2[xe^2x]－3/4[e^2x]
です。
7∫e^2x*dxも同様に計算してみましょう。

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■35600 / inTopicNo.17)

　Re[12]: 計算と答えをお願いします。。。

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□投稿者/ hiro 一般人(10回)-(2008/09/09(Tue) 12:54:10)

なんで一個のしきから　－をはさんで二つになったんでしょうか。。。

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■35602 / inTopicNo.18)

　Re[13]: 計算と答えをお願いします。。。

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□投稿者/ terb 一般人(3回)-(2008/09/09(Tue) 13:08:15)

はじめのレスでNさんが部分積分で解く、とおっしゃってくれているのですから、
部分積分の公式ぐらい自分で調べましょうよ・・・
そうすればなぜ
>>一個のしきから　－をはさんで二つになった
のかはすぐに分かるはずです。