数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 連続微分可能 / Page: 0]

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■35266 / inTopicNo.1)

　連続微分可能

□投稿者/ satsuma 一般人(12回)-(2008/08/27(Wed) 22:26:46)

区間 $2$[-1,1]$ 上の連続関数 $2$f$ に対し， $2$F(t)=\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{1}e^{tx}f(x)dx$ とおく．
このとき関数 $2$F(t)$ は $2$\mathbb{R}$ 上で連続微分可能であることを示せ．
という問題なのですが、解答では、
$2$\displaystyle \frac{de^{tx}}{dt}=xe^{tx}$ であるので， $2$F'(t)=\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{1}e^{tx}xf(x)dx$ と予想される
とあって、このあと、
$2$\left|\frac{F(t+h)-F(t)}{h}-\displaystyle\int_{-1}^{1}e^{tx}xf(x)dx\right|$ がゼロに収束することをハサミウチで示してやっています。
$2$\displaystyle \frac{de^{tx}}{dt}=xe^{tx}$ であるので， $2$F'(t)=\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{1}e^{tx}xf(x)dx$ と予想される
というのがなぜなのかよくわかりません。
「であるので」とあるのですが、「である」まではもちろんたわけな私にもわかるのですが、
その先の「ので」の部分で引っかかってしまいます。
どなたかご教授願えませんでしょうか。よろしくおねがいします。

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■35268 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 連続微分可能

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□投稿者/ 初心者@頭の中は夏休み一般人(5回)-(2008/08/28(Thu) 07:52:18)

2008/08/28(Thu) 07:55:34 編集(投稿者)

$2$f(x)$ ってのが変数 $2$t$ によってないのだから，

$2$F'(t)=\frac{d}{dt}F(t)=\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{-1}^{1}e^{tx}f(x)dx=\displaystyle\int_{-1}^{1}\left(\frac{d}{dt}e^{tx}\right)f(x)dx=\displaystyle\int_{-1}^{1}e^{tx}xf(x)dx$

となるのは，そんなに難しくないような気もしないでもないような・・・
もう長いことこんなことやってなかったから間違ってたらごめんなさいだけど。

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■35283 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 連続微分可能

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□投稿者/ satsuma 一般人(13回)-(2008/08/28(Thu) 20:02:36)

なるほど、普通は、d/dtと∫を交換しちゃだめなのですが、
F'(t)のあたりをつけるため、やってみたということだということですね。
ありがとうございました。

解決済み!

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