数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 漸化式 / Page: 0]

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■35202 / inTopicNo.1)

　漸化式

□投稿者/ ae 一般人(3回)-(2008/08/25(Mon) 00:09:48)

関数 f(x)=4x-x^2 に対し、数列{a[n]} を
　　 a[1]=c, a[n＋1]=√f(a[n]) (n=1,2,3,....)
で与える。ただし、c は 0<c<2 を満たす定数である。

(1) a[n]<2, a[n]<a[n＋1] を示せ。

(2) 2-a[n＋1]<(2-c)/2*(2-a[n]) を示せ。

(3) lim[n→∞]a[n] を求めよ。

(2)だけでも良いのでよろしくお願いします。

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■35205 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 漸化式

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□投稿者/ satsuma 一般人(8回)-(2008/08/25(Mon) 00:43:51)

とりあえず、素直に2-a[n+1]を作ってみますと、
$2$2-a_{n+1}=2-\sqrt{-a_{n}^{2}+4a_{n}}$
$2$=\displaystyle \frac{(2-\sqrt{-a_{n}^{2}+4a_{n}})(2+\sqrt{-a_{n}^{2}+4a_{n}})}{2+\sqrt{-a_{n}^{2}+4a_{n}}}$
$2$=\displaystyle \frac{a_{n}^{2}-4a_{n}+4}{2+\sqrt{-a_{n}^{2}+4a_{n}}}$
$2$\displaystyle \leq\frac{(2-a_{n})^{2}}{2}=\frac{2-a_{n}}{2}(2-a_{n})$
$2$\displaystyle \leq\frac{2-c}{2}(2-a_{n})$

この手の問題ではよく行う逆有理化を行い、
適宜余分な項を削除して不等式にするのがポイントかと思います。

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■35211 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 漸化式

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□投稿者/ ae 一般人(4回)-(2008/08/25(Mon) 04:19:23)

無事解決できました。ご丁寧にありがとうございました！

解決済み!

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