 | 2008/08/24(Sun) 20:16:09 編集(投稿者)
(1)
全ての手の出し方は3^n[通り]
又、k人の勝者を選ぶ方法はnCk[通り]
∴k人が勝つ手の出し方は3(nCk)[通り]
∴求める確率は3(nCk)/3^n=(nCk)(1/3)^(n-1)
となります。
(2)
(求める確率)=1-(勝者が存在する確率)
=1-Σ[k=1〜n-1](nCk)(1/3)^(n-1) (∵)(1)の結果より
=1-{(1+1)^n-1-1}(1/3)^(n-1) (∵)二項定理より
=1-3(2/3)^n+2(1/3)^(n-1)
となります。
(3)
X=kとなる確率をP[X=k]、求める期待値をE[X]とすると
E[X]=Σ[k=0〜n-1]kP[X=k]
=Σ[k=1〜n-1]k(nCk)(1/3)^(n-1) (A) (∵)(1)の結果より
ここで
k(nCk)=kn!/{k!(n-k)!}
=n!/{(k-1)!(n-k)!}
=n(n-1)!/{(k-1)!{(n-1)-(k-1)}!}
=n{(n-1)C(k-1)}
∴(A)から
E[X]={n(1/3)^(n-1)}Σ[k=1〜n-1]{(n-1)C(k-1)}
=…(k-1=lと置いて、二項定理を使います。)
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