 | > y=x^2+x+1の1はxに関係ないかと思うのですが
仰る通り、1はxに無関係な定数ですので、aも定数としてlim[x→a]1 = 1です。
> 微分とlimを混合しているようなのですが、なにが変なのでしょうか？
y = f(x) = x^2+x+1の場合、y' = f'(x)の定義はlimを用いて以下のように表されます。
f'(x) = lim[h→0]{(f(x+h)-f(x))/h}
ここで、f(x+h) = (x+h)^2+(x+h)+1 = (x^2+2hx+h^2)+(x+h)+1 = x^2+(2h+1)x+(h^2+h+1)です。
よって、
f'(x) = lim[h→0]{(f(x+h)-f(x))/h}
= lim[h→0]{((x^2+(2h+1)x+(h^2+h+1))-(x^2+x+1))/h}
= lim[h→0]{(2hx+h^2+h)/h}
= lim[h→0]{2x+h+1}
= 2x+1
です。
limは極限を計算する演算子(?)です。
微分も関数に対する演算のひとつですが、lim演算と微分演算は別物です。
微分演算子はd/dxと表され、f(x)を微分することを、(d/dx)f(x)と書きます。
微分演算はlim演算子(?)を用いて、(d/dx)f(x) = lim[h→0]{(f(x+h)-f(x))/h}と表せます。
# 厳密性を欠く表現かもしれませんが・・・。
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