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■35118 / inTopicNo.1)

　すう

□投稿者/ 流れ星一般人(1回)-(2008/08/19(Tue) 13:47:31)

夏休みの宿題でわからないので教えてくれると助かります。どうかお願いします。

１、等式 $2$2x^2-7x+8=(x-3)(ax+b)+c$ がxについて恒等式であるとき、定数a,b,cの値を求める。

２、等式 $2$\frac{1}{x(x+1)}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x+1}$ がxについての恒等式であるとき、定数a,bの値を求める。

３、次の等式を求める。
　① $2$a^2+ab+b^2=(a+\frac{b}{2})^2+\frac{3}{4}b^2$
② $2$(1+x)^3=1+x+x(1+x)+x(1+x)^2$

４、x＞０のとき、次の不等式を証明せよ。
　　 $2$1+x>\sqrt{1+2x}$

５、次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つときを調べよ。
　　 $2$|a|+|b|\geq |a-b|$

６、a>0、b>0のとき、次の不等式を証明せよ。
　① $2$a+\frac{4}{a}\geq 4$
② $2$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$

７、xの方程式 $2$x^3+x^2+ax+b=0$ がiを解にもつとき、実数の係数a,bの値を求める。また、ほかの解を求める。

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■35119 / inTopicNo.2)

　Re[1]: すう

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□投稿者/ E.B. 一般人(1回)-(2008/08/19(Tue) 15:48:04)

$2$2x^2-7x+8$ を $2$(x-3)$ で割り算すると
$2$(x-3)(2x-1)+5$
$2$\frac{1}{x(x+1)}}$ を部分分数に分解すると
$2$ \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}$

等式を求める。　証明する　なら
①右辺 $2$(a+\frac{b}{2})^2+\frac{3}{4}b^2$ を展開する
（または左辺を平方完成するだけ）
②右辺 $2$1+x+x(1+x)+x(1+x)^2$
を因数分解する
$2$ \begin{array}{l} = (x + 1)\left( {1 + x + x(1 + x)} \right) \\ = (x + 1)\left( {1 + 2x + x^2 } \right) \\ \end{array}$

$2$ \begin{array}{l} \left( {x + 1} \right)^2 > 1 + 2x > 0 \\ x + 1 > 0 \\ \end{array}$
だから
$2$ x + 1 > \sqrt {1 + 2x}$
$2$ \begin{array}{l} \left( {\left| a \right| + \left| b \right|} \right)^2 - \left| {a - b} \right|^2 \\ = a^2 + 2\left| a \right|\left| b \right| + b^2 - (a^2 - 2ab + b^2 ) \\ = 2\left( {\left| a \right|\left| b \right| + ab} \right) \ge 0 \\ \end{array}$

$2$ \left| a \right| + \left| b \right| \ge 0$
だから
$2$ \left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a - b} \right|$

等号がなりたつのは
ab≦0

$2$ \begin{array}{l} \left( {a + \frac{4}{a}} \right)^2 - 16 = \left( {a - \frac{4}{a}} \right)^2 \ge 0 \\ \left( {a + \frac{4}{a}} \right)^2 \ge 16 \\ a + \frac{4}{a} > 0 \\ \end{array}$
より
$2$ a + \frac{4}{a} \ge 4$
$2$ \begin{array}{l} \left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right)^2 - 4 = \left( {\frac{a}{b} - \frac{b}{a}} \right)^2 \ge 0 \\ \left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right)^2 \ge 4 \\ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} > 0 \\ \end{array}$

だから
$2$ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$

実数係数だから
iが解なら-iも解　実数解をαとすれば
解と係数の関係から
α＋i+(-i)=-1
α＝-1
a=i(-i)+i(-1)+(-1)(-i)=1-i+i=1
b=-i(-i)(-1)=1

または、
iを代入すると
b－1+i(a-1)=0
a,bは実数だから
a=1,b=1
もとの式は
x^3+x^2+x+1=0
(x+1)(x^2+1)=0
実数解　-1 虚数解　i,-i

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■35130 / inTopicNo.3)

　Re[2]: すう

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□投稿者/ 流れ星一般人(2回)-(2008/08/19(Tue) 23:29:49)

ありがとうございました！！
助かりました。

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