 | sin(A):sin(B):sin(C) = 4:5:6より、4/sin(A) = 5/sin(B) = 6/sin(C)です。
三角形の3辺の長さをa,b,cとします。
正弦定理より、a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)です。
よってa:b:c = sin(A):sin(B):sin(C) = 4:5:6となります。
b = (5/4)a, c = (6/4)a = (3/2)aとおきます。
内接円の半径rは、t = (a+b+c)/2 = (a/2)*(1+5/4+3/2) = (15/8)aとおくと、
r = √(t/{(t-a)(t-b)(t-c)}) = √((15/8)a/{(7/8)a*(5/8)a*(3/8)a})
= √(8^2*15/{7*5*3*a^2}) = (8/a)√(1/7) = √7
⇒ a = 8, b = 10, c = 12
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