 | 微分方程式の級数展開法というキーワードで調べてみてください。
Σ同士の積の計算方法については分かりません。
あまり有効な方法はなく、力技になるのかもしれません。
{Σ[i=0,∞]a[i]}*{Σ[j=0,∞]b[j]} = Σ[k=0,∞]{Σ[m=0,k]{a[m]*b[k-m]}}
ですから、右辺の一般項(?)c[k] = Σ[m=0,k]{a[m]*b[k-m]}が簡素な形に求まるかどうかですね。
P(x)y' = {-2x*Σ[k=0,∞]{x^(2k)}}*{Σ[k=0,∞]{(k+1)*f[k+1]*x^k}}
Q(x)y = {6*Σ[k=0,∞]{x^(2k)}}*{Σ[k=0,∞]{f[k]*x^k}}
よって
P(x)y'+Q(x)y = {Σ[k=0,∞]{x^(2k)}}*{-2x*{Σ[k=0,∞]{(k+1)*f[k+1]*x^k}}+6*{Σ[k=0,∞]{f[k]*x^k}}}
= {Σ[k=0,∞]{x^(2k)}}*{Σ[k=0,∞]{-2(k+1)*f[k+1]*x^(k+1)}+Σ[k=0,∞]{f[k]*x^k}}
= {Σ[k=0,∞]{x^(2k)}}*{Σ[k=0,∞]{-2k*f[k]*x^k}+Σ[k=0,∞]{f[k]*x^k}}
= {Σ[k=0,∞]{x^(2k)}}*{Σ[k=0,∞]{(1-2k)*f[k]*x^k}}
です。
a[n] = (1+(-1)^n)/2*x^n, b[n] = (1-2n)*f[n]*x^nですので、
c[k] = Σ[m=0,k]{(1+(-1)^m)/2*x^m*(1-2(k-m))*f[k-m]*x^(k-m)} = ???
c[0] = a[0]*b[0] = 1*f[0]*x^0 = f[0]
c[1] = a[0]*b[1]+a[1]*b[0] = {1*(-1)*f[1]+0*f[0]}*x^1 = -f[1]*x
c[2] = a[0]*b[2]+a[1]*b[1]+a[2]*b[0] = {1*(-3)*f[2]+0*(-1)*f[1]+1*f[0]}*x^2 = (f[0]-3*f[2])*x^2
c[3] = a[0]*b[3]+a[1]*b[2]+a[2]*b[1]+a[3]*b[0] = {1*(-5)*f[3]+0*(-3)*f[2]+1*(-1)*f[1]+0*f[0])*x^3 = (-f[1]-5*f[3])*x^3
・・・・
c[k]についての何等か規則が見出せれば、数学的帰納法で一般項の式を確定できるのかもしれません。
c[k]のkが偶数の場合と、奇数の場合に分けて考えると上手く行くような気がしますけど、確証はありません。
計算、頑張ってください。
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