 | こんにちは
inf{Σ[k=1..∞]|I_k|∈R;∪[k=1..∞]I_k⊃Z} (I_kは区間) を集合Zの外測度と定義する。
外測度が0となる集合を零集合という。
[Lemma] Zが零集合⇔0<∀ε,∃{I_k}; Z⊂∪[k=1..∞]I_k且つΣ[k=1..∞]|I_k|<ε
[Theorem] (a,b)⊃Zが零集合⇔
0<∀ε,
A:={{f^ε_n};{f^ε_n}は非負値を採る単関数の増加列(f^ε_1(x)≦f^ε_2(x)≦…≦f^ε_n(x)≦…),∫[a..b]f^ε_n(x)dx<ε,sup{f^ε_n(Z);n∈N}≧1}≠φ
[Proposition] 単調増加な単関数列{f_n}が与えられた時,
∫[a..b]f_ndx≦M<∞ ⇒ {f_n}はa.e.で有限な極限を持つ。
[proof]
f_n-f_1を考える事により,初めからf_n≧0としてよい。
xを決めると数列{f_n(x)}は有限な極限を持つか無限大に発散するからである。
Z:={x∈(a,b);lim[n→∞]f_n(x)=+∞}とおく。x∈Zを決めると∀ε>0に対し,
あるnから先で常にf_n(x)≧M/ε.即ち
x∈Z⇒sup(εf_n(x)/M)≧1.
所で ∫[a..b]εf_n(x)/Mdx=ε/M∫[a..b]f_n(x)dx≦ε
よって単関数列 {εf_n(x)/M}は上のTheoremを満たしているのでZは零集合となる。(終)
という解説なのですが
「f_n-f_1を考える事により,初めからf_n≧0としてよい。
xを決めると数列{f_n(x)}は有限な極限を持つか無限大に発散するからである」
がいまいち分かりません。どうして∀x∈(a,b),f_n(x)≧0と出来るのでしょうか?
|