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x = log((x-k)^2)と解釈して回答します。
x ≠ kとして、f(x) = x-2*log(x-k)のグラフがx軸と何回交差または接するかを数えます。
x→-∞のとき、f(x) = x*{1-2*(log(x-k))/x} → -∞
x→+∞のとき、f(x) = x*{1-2*(log(x-k))/x} → +∞
です。
f'(x) = 1-2/(x-k) = (x-k-2)/(x-k)
x < kならば、f'(k) > 0なので、f(x)は増加。
k < x < k+2ならば、f'(k) < 0なので、f(x)は減少。
x = k+2ならば、f'(k) = 0なので、f(x)は極小。f(k+2) = (k+2)-2log(2)
k+2 < xならば、f'(k) > 0なので、f(x)は増加。
上記の考察から、x < kの範囲で、f(x)のグラフはx軸と1回交差します。
k > 2log(2)-2の場合、極小は正なので、k < xの範囲ではf(x)のグラフはx軸と交差することも
接することもありません。
k = 2log(2)-2の場合、極小は0なので、x = k+2でf(x)のグラフはx軸と1回接します。
k < 2log(2)-2の場合、極小は負なので、k < xの範囲でf(x)のグラフはx軸と2解交差します。
以上から異なる実数解の個数は
k > 2log(2)-2の場合は1個、k = 2log(2)-2の場合は2個、k < 2log(2)-2の場合は3個です。
[2](1)
1/α = kα, 1/β = nβより、β/α = (k/n)(α/β)です。
よってβ/α = √(k/n)
(2)
簡単な図を描いてみれば分かりますが、
S[k] = ∫[0,α](kx)dx+∫[α,β](1/x)dx-∫[0,β](nx)dxです。
S[k] = [k/2*x^2]_[0,α]+[log(x)]_[α,β]-[n/2*x^2]_[0,β]
= k/2*α^2+log(β/α)-n/2*β^2
(1)より、α^2 = 1/k, β^2 = 1/nですから、
S[k] = k/2*1/k+log(√(k/n))-n/2*1/n = (1/2)*log(k/n)
(3)
∑[k=n+1→2n]S[k] = ∑[k=n+1→2n]log(k/n)
= (1/2)*log({(n+1)(n+2)*･･････*(2n)}/{n^n})
= (1/2)*log({(2n)!}/{(n!)*(n^n)})
= (1/2)*{log((2n)!)-log(n!)-n*log(n)}
スターリングの公式(近似)により、log((2n)!) ≒ 2n*log(2n)-2n, log(n!) ≒ n*log(n)-nなので、
∑[k=n+1→2n]S[k] ≒ (1/2)*{(2n*log(2n)-2n)-(n*log(n)-n)-n*log(n)}
= (1/2)*{2n*log(2)+2n*log(n)-2n*log(n)-n}
= (1/2)*{2n*log(2)-n}
lim[n→∞]{S[k]/n] = lim[n→∞]{(1/2)*{2n*log(2)-n}/n} = (1/2)(2*log(2)-1)
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