 | nを自然数として、b[n] = a[2n], c[n] = a[2n-1]とおきます。
b[n] = √(c[n]), c[n+1] = (3/2)*b[n]-(1/2)となります。
# b[1] = a[2] = √2, c[1] = a[1] = 2
(1)
c[n+1] = (3/2)*(√(c[n]))-(1/2)です。先ず、c[1] > 1です。
またkを自然数としてc[k] > 1と仮定すると、c[k+1] > (3/2)*(√(1))-(1/2) = 1ですので、
数学的帰納法により任意の自然数nについてc[n] > 1です。
b[n] = √(c[n])ですので、b[n] > √1 = 1です。
(2)
c[n+1]-1 = (3/2)*{(√(c[n]))-1}です。
相乗平均は相加平均より大きくないので、√(c[n]) ≦ (c[n]+1)/2です。
等号が成立するのはc[n] = 1の場合ですが、(1)よりc[n] > 1なので、
√(c[n]) < (c[n]+1)/2となります。
よって
c[n+1]-1 < (3/2)*{((c[n]+1)/2)-1} = (3/4)*(c[n]-1)
(3)
(2)よって{c[n]-1}は公比3/4の等比数列です。
n→∞のとき、(c[n]-1)→0ですから、c[n]→1です。
b[n] = √(c[n])ですので、n→∞のとき、b[n]→1です。
以上から、lim[n→∞]a[n] = 1です。
# もし愛さんが大学の数学科の学生さんなら、上記(3)の説明では不十分とされるかもしれません。
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