 | (2)の計算ができるということは、任意の自然数nについてa[n]は逆数を持つ
ということを証明抜きで使用して良いものと解釈して回答します。
(1)
1/a[n] = {(2n-1)*a[n-1]+1}/a[n-1] = (2n-1)+1/a[n-1]
⇒ 1/a[n]-n^2 = 1/a[n-1]-(n-1)^2
上記から{1/a[n]-n^2}は公比1の等比数列で、初項は1/a[1]-1^2 = 0です。
よって任意の自然数nについて1/a[n]-n^2 = 0 ⇒ a[n] = 1/(n^2)
(2)
b[n] = Σ[k=1,n](1/√(a[k]*a[n-k+1])) = Σ[k=1,n](k*(n-k+1))
= (n+1)*(Σ[k=1,n]k)-(Σ[k=1,n]k^2) = (n+1)*(n*(n+1)/2)-(n*(n+1)(2n+1)/6)
= n*(n+1)/6*(3(n+1)-(2n+1)) = n*(n+1)*(n+2)/6
(3)
1/b[n] = 6/{n*(n+1)*(n+2)} = 3*{1/n-2/(n+1)+1/(n+2)}です。
Σ[n=1,∞](1/b[n]) = Σ[n=1,∞]3*{1/n-2/(n+1)+1/(n+2)} = 3*(1/1-1/2) = 3/2
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