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■34867 / inTopicNo.1) 　教えて下さい！！
  ▼■
□投稿者/ 愛 一般人(3回)-(2008/08/04(Mon) 23:55:51)
    (１)ｘ＋ｙ＝１、ｘ＾３＋ｙ＾３＝３　のとき

    ｘ＾２＋ｙ＾２　と　ｘ＾５＋ｙ＾５　の値を求めよ。

    (２)ａは定数とする。　ｘについての不等式

    ｘ＾２−ｘ＋ａ(１−ａ)＜０　を解け。

    (３)連立方程式
    ｘ＋(ａ−１)ｙ＝−１、ａｘ＋(ａ＋３)ｙ＝１

    の解が存在しないときと、解が無限に存在するときの

    ａの値を求めよ。


    わからないので教えて下さい。

    よろしくお願いします！！

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■34870 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 教えて下さい！！
□投稿者/ WIZ ファミリー(157回)-(2008/08/05(Tue) 09:37:35)
    (1)
    x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) = 1*(x^2-xy+y^2) = 3・・・・・(A)
    (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 = 1^2・・・・・(B)

    (A)(B)より、(x^2+2xy+y^2)-(x^2-xy+y^2) = 3xy = 1-3 = -2
    よってxy = -2/3・・・・・(C)

    (A)(C)より、x^2+y^2 = 3+xy = 3+(-2/3) = 7/3・・・・・(D)

    (C)(D)より、(x^3+y^3)(x^2+y^2) = 3*(-2/3) = (x^5+y^5)+((xy)^2)(x+y) = (x^5+y^5)+((-2/3)^2)*1
    ⇒ -2 = (x^5+y^5)+4/9
    ⇒ x^5+y^5 = -2-4/9 = -22/9

    (2)
    x,aは実数として回答します。
    x^2-x+a(1-a) = (x-a)(x-(1-a)) < 0
    a < 1-aすなわちa < 1/2の場合、a < x < 1-aです。
    1-a < aすなわち1/2 < aの場合、1-a < x < aです。
    a = 1/2の場合、(x-1/2)^2 < 0を満たす実数xは存在しません。

    (3)
    x,aは実数として回答します。
    x+(a-1)y = -1・・・・・(E)
    ax+(a+3)y = 1・・・・・(F)

    解が存在しないためには、行列式|(1,a-1),(a,a+3)| = 0であれば良いです。
    |(1,a-1),(a,a+3)| = 3-(a-1)(a+3) = 6-2a-a^2 = 0
    ⇒ a = -1±√7

    解が無限に存在するためには
    (E)と(F)が1次従属であれば良いです。(E)+(F)を計算すると
    (a+1)x+2(a+1)y = 0
    上記が恒等式であればよいので、a = -1

    (E)を変形すると
    x+(a-1)y = x-2y = -1 = 1-2
    ⇒ (x-1)-2(y-1) = 0
    ⇒ x-1 = 2(y-1) = 2tとおきます。
    1と2は互いに素なので、tを任意の実数として、x = 2t+1, y = t+1
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■34871 / inTopicNo.3) 　Re[1]: 教えて下さい！！
□投稿者/ d 一般人(7回)-(2008/08/05(Tue) 09:43:30)
    ■No34867に返信(愛さんの記事)
    > (１)ｘ＋ｙ＝１、ｘ＾３＋ｙ＾３＝３　のとき
    >
    > ｘ＾２＋ｙ＾２　と　ｘ＾５＋ｙ＾５　の値を求めよ。
    >

    たとえば直に；
    Table[((1*(3 + Sqrt[33]))/6)^n + ((1*(3 - Sqrt[33]))/6)^n, {n, 1, 17}]]

    ={1, 7/3, 3, 41/9, 59/9, 259/27, 377/27,
    1649/81, 89/3, 10507/243, 15313/243,
    66953/729, 97579/729, 426643/2187,
    69089/243, 2718689/6561, 3962291/6561}
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■34885 / inTopicNo.4) 　Re[1]: 教えて下さい！！
□投稿者/ ＤＡＮＤＹ　Ｕ ベテラン(211回)-(2008/08/05(Tue) 17:00:35)
    横から失礼します。
    (3)
    ｘ＋(ａ−1)ｙ＝−1 ・・・(イ)
    ａｘ＋(ａ＋3)ｙ＝1 ・・・(ロ)
    (イ)*a−(ロ) を計算すると (a^2-2a-3)ｙ＝−a−1
    ∴　(a+1)(a-3)ｙ＝−(a+1)

    (i) ａ＝−1　のとき、0ｙ＝0　となり これをみたすｙは無数にあります。
    このとき　(イ)(ロ)とも　ｘ＝2ｙ−１ と同値な式となり
    (x,y)＝(2t-1,t) で表されるような (x,y)の組が全て解となります。

    (ii) ａ＝3　のとき、0ｙ＝−4 となり　これをみたすｙは存在しません。
    このとき　(イ)は ｘ＋2ｙ＝−1　(ロ)は 3ｘ＋6ｙ＝1
    となり 確かにこの２つの式は相容れず、２式を満たす(ｘ,ｙ)の組は存在しませんね。



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■34886 / inTopicNo.5) 　Re[2]: 教えて下さい！！
□投稿者/ WIZ ファミリー(158回)-(2008/08/05(Tue) 17:06:10)
    違っていたので訂正します。
    dさん、ご指摘(?)ありがとうございます。

    > (C)(D)より、(x^3+y^3)(x^2+y^2) = 3*(-2/3) = (x^5+y^5)+((xy)^2)(x+y) = (x^5+y^5)+((-2/3)^2)*1
    > ⇒ -2 = (x^5+y^5)+4/9
    > ⇒ x^5+y^5 = -2-4/9 = -22/9

    (C)(D)より、(x^3+y^3)(x^2+y^2) = 3*(7/3) = (x^5+y^5)+((xy)^2)(x+y) = (x^5+y^5)+((-2/3)^2)*1
    ⇒ 7 = (x^5+y^5)+4/9
    ⇒ x^5+y^5 = 7-4/9 = 59/9

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■34887 / inTopicNo.6) 　Re[3]: 教えて下さい！！
□投稿者/ WIZ ファミリー(159回)-(2008/08/05(Tue) 17:24:20)
    (3)も間違っていました。申し訳ありません。

    > 解が存在しないためには、行列式|(1,a-1),(a,a+3)| = 0であれば良いです。
    > |(1,a-1),(a,a+3)| = 3-(a-1)(a+3) = 6-2a-a^2 = 0
    > ⇒ a = -1±√7

    |(1,a-1),(a,a+3)| = 1*(a+3)-(a-1)*a = 3+2a-a^2 = (3-a)(1+a) = 0でした。
    上記からa = 3またはa = -1となり、以下ＤＡＮＤＹ　Ｕさんの解説の通りです。

    尚、a = -1の場合の私の解と、ＤＡＮＤＹ　Ｕさんの解は見掛けが違いますが、数学的には同じです。
    私の解(x,y) = (2t+1,t+1)でt+1 = sとおくと、(x,y) = (2s-1,s)とＤＡＮＤＹ　Ｕさんの解になります。
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