 | (1)
{(1-A)(1-B)}-{1-(A+B)} = {1-A-B+AB}-{1-A-B} = AB > 0ですから、
{(1-A)(1-B)} > {1-(A+B)}です。
(2)
n = 2の場合は、(1)でA = p[1], B = p[2]とおけば、成立することが分かります。
kを2以上の自然数として、n = kの場合に成立すると仮定します。
{(1-p[1])*･･････*(1-p[k])(1-p[k+1])}-{1-(p[1]+･･････+p[k]+p[k+1])}
= {(1-p[1])*･･････*(1-p[k])}-{(1-p[1])*･･････*(1-p[k])}*p[k+1])-{1-(p[1]+･･････+p[k])}+p[k+1]
= {(1-p[1])*･･････*(1-p[k])}-{1-(p[1]+･･････+p[k])}+p[k+1]*{1-{(1-p[1])*･･････*(1-p[k])}}
数学的帰納法の仮定より、
{(1-p[1])*･･････*(1-p[k])}-{1-(p[1]+･･････+p[k])} > 0です。
また題意より、任意の自然数tについて0 < p[t] < 1ですから、0 < 1-p[t] < 1です。
よって0 < {(1-p[1])*･･････*(1-p[k])} < 1で、0 < 1-{(1-p[1])*･･････*(1-p[k])} < 1となります。
以上から
{(1-p[1])*･･････*(1-p[k])}-{1-(p[1]+･･････+p[k])}+p[k+1]*{1-{(1-p[1])*･･････*(1-p[k])}} > 0
となりますので、n = k+1の場合でも成立します。
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