数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 数列の極限 / Page: 0]

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■34839 / inTopicNo.1)

　数列の極限

□投稿者/ amaye 一般人(1回)-(2008/08/02(Sat) 22:49:10)

1.
a[n]=cos(2nπ/3)+∑[k=1→n]((1/2)^(k-1))のとき、
lim[x→∞](1/n*∑[k=1→n]a[k])=

2.　0<a<bである定数a,bがある。x[n]={(a^n)/b+(b^n)/a}^(1/n)とおくとき

(1)不等式 b^n<a(x[n])^n<2b^n を証明せよ

(2)lim[n→∞]x[n]を求めよ

わかりません
教えてください

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■34844 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数列の極限

▲▼■

□投稿者/ WIZ 軍団(149回)-(2008/08/03(Sun) 07:44:36)

1.
a[n] = cos(2nπ/3)+∑[k=1→n]((1/2)^(k-1))
= cos(2nπ/3)+{1-(1/2)^(n+1)}/{1-(1/2)}
= cos(2nπ/3)+{2-(1/2)^n}

nを3で割った余りが0のとき、cos(2nπ/3) = 1です。
nを3で割った余りが1または2のとき、cos(2nπ/3) = -1/2です。

よってS[n] = Σ[k=1→n]cos(2kπ/3)とおくと、
nを3で割った余りが0のとき、S[n] = 1です。
nを3で割った余りが1のとき、S[n] = 1/2です。
nを3で割った余りが2のとき、S[n] = 0です。
以上から、0 ≦ S[n] ≦ 1です。

∑[k=1→n]a[k] = S[n]+2n-(1/2){1-(1/2)^(n+1)}/{1-(1/2)} = S[n]+2n-1+(1/2)^n

> lim[x→∞](1/n*∑[k=1→n]a[k])=
上記のxがnの書き間違いと仮定すると
lim[n→∞](1/n*∑[k=1→n]a[k]) = lim[n→∞](1/n*(S[n]+2n-1+(1/2)^n)) = 2

2.
(1)
a(x[n])^n = a{(a^n)/b+(b^n)/a} = (a^n)*a/b+(b^n)
ここで
0 < (a^n)*a/b < a^n < b^nですから、b^n < (a^n)*a/b+(b^n) < 2*b^nです。

(2)
(1)より、b < x[n] < b*2^(1/n)ですから、lim[n→∞]x[n] = b

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■34850 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 数列の極限

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□投稿者/ amaye 一般人(2回)-(2008/08/03(Sun) 21:57:15)

ありがとうございます

解決済み!

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