 | > makotoさん
32x^4-8(k+1)x^2+(k-1)^2 = 0までは良いと思いますが、
32t^2-8(k+1)t+(k-1)^2 = 0の判別式と、xの方程式の判別式は別物です。
xの方程式の判別式を求めてみます。
複2次式ですからxの4次方程式の解はa,-a,b,-bとおくことができます。
判別式Dは解の積差の平方ですので、
D = {(a-(-a))(a-b)(a-(-b))(-a-b)(-a-(-b))(b-(-b))}^2
= {(2a)(a-b)(a+b)(a+b)(a-b)(2b)}^2
= {4ab(a^2-b^2)^2}^2
= 16(a^2)(b^2)((a^2-b^2)^4)
ここで、a^2とb^2はtの方程式の解と考えられますから、解と係数の関係より
(a^2)(b^2) = ((k-1)^2)/32
(a^2-b^2)^2 = ((k+1)/4)^2-4*((k-1)^2)/32 = (k^2+2k+1)/16-(k^2-2k+1)/8 = (-k^2+6k-1)/16
よって
D = ((k-1)^2)/32*(-k^2+6k-1)/16 = -((k-1)^2)*(k^2-6k+1)/1024
D = 0となるのは、k = 1, 3±2√2
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