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lim[x→a]f(x)/g(x)で、x→aのときf(x)→0となることは、x→aのときg(x)→0となることの必要条件です。
では何故、十分条件とはいえないのか?
これはf(x)とg(x)の0に近づく速さの違いにより、上記条件だけでは、必ず収束するとはいえないためです。
反例は簡単に作れます。
a = 0, f(x) = x, g(x) = x^2とするとlim[x→a]f(x)/g(x) = lim[x→0]1/x → 発散です。
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仰る通りです。f'(x) = 0となる xは、f(x)の極値か変曲点です。
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0 < x < 1/2のとき、逆数をとれば 2 < 1/x < +∞ですね。(+∞は数ではないですが)
すなわち2 < 1/x ということになります。
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常に分母と分子に0でない同じ数をかけないといけません。
A = 1/(1-(1/(1-1/x)))とします。
A = x/{x*(1-(1/(1-1/x)))}
= x/{x-x*(1/(1-1/x))}
= x/{x-x/(1-1/x)}
= x/{x-(x^2)/{x*(1-1/x)}}
= x/{x-(x^2)/{x-1}}
= x*(x-1)/{{x-(x^2)/{x-1}}*(x-1)}
= x*(x-1)/{x*(x-1)-(x^2)}
= x*(x-1)/{(x^2)-x-(x^2)}
= x*(x-1)/{-x}
= (x-1)/{-1}
= 1-x
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