数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 実数解の個数 / Page: 0]

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■34791 / inTopicNo.1)

　実数解の個数

▼■

□投稿者/ 石榴一般人(1回)-(2008/08/01(Fri) 10:23:29)

お願いします。
Sqrt[2]*x^3-3*(Sin[t])*x^2+Sin[t]*Cos[2*t]=0
が３個の異なる実数解をもつようtの範囲を定めよ。
（ただし、0<t<Pi/2)

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■34792 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 実数解の個数

▲▼■

□投稿者/ イブキ一般人(1回)-(2008/08/01(Fri) 11:32:41)

$2$ T = \sin t,X = \frac{x}{{\sqrt {\rm 2} }}$
とおくと、
$2$ {\rm 0 < t < Pi/2}$
より、
$2$ {\rm 0 < T < 1}$

$2$ y = 4X^3 - 6TX^2 + T(1 - 2T^2 ) = 0$
$2$ y' = {\rm 12X(X - T)}$
$2$ y'{\rm = 0}$
とおくと、
$2$ {\rm X = 0,X = T}$
X=0のとき　極大　で極大値　 $2$ - T(T^2 - \frac{1}{2})$
X=Tのとき　極小で極小値　 $2$ y = - 4T(T - \frac{1}{2})(T + \frac{1}{2})$

3つの実数解をもつのは
$2$ - T(T^2 - \frac{1}{2}) > 0$
かつ
$2$ - 4T(T - \frac{1}{2})(T + \frac{1}{2}) < 0$

　[かつ
$2$ {\rm 0 < T < 1}$
したがって、

$2$ \frac{1}{2} < T < \frac{1}{{\sqrt 2 }}$

$2$ \frac{\pi }{{\rm 6}} < t < \frac{\pi }{{\rm 4}}$

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