 | 2005/08/31(Wed) 08:57:20 編集(投稿者)
(1)いくつかの方法でやっていましょう
A)オーソドックスにやるなら2次式の平方完成から
縦x、横yとおくと、周長の半分はx+y=a
対角線zとおくと、
z^2=x^2+y^2=x^2+(a-x)^2=2x^2-2ax+a^2
=2(x-a/2)^2+a^2/2
0＜x＜aの範囲では
z^2はx=a/2（つまりy=a/2）の時に最小値a^2/2
従って一辺a/2の正方形の時に対角線は最小値a/√2
以下、x,y,zは上と同じ定義です。
B)相加相乗平均を使う
z^2=x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=a^2-2xy
相加≧相乗平均より
z^2=x^2+y^2≧2xy （等号はx=yのとき）
上式と加えて
2z^2≧a^2
よって、x=y=a/2の時最小
C)実数^2≧0を使う
z^2=x^2+y^2=(1/2)((x+y)^2+(x-y)^2)
=(1/2)(a^2+(x-y)^2)≧a^2/2 (等号はx=yのとき)
x=y=a/2のときzは最小
(2)三角関数を知っていれば
等辺の挟角をxとすれば
面積はS=(1/2)a^2sinx≦(1/2)a^2
等号はsinx=1 x=π/2 というのはほとんど自明ですが。
（こんなやり方はだめなのかな？）
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