 | 導関数を求めて、増減表を作れば良いです。
f'(x) = (x-3k)^2+x*2(x-3k)*1 = (x-3k)(x-3k+2x) = 3(x-3k)(x-k)
(1)0 < k < 3k < 1の場合
0 ≦ x < kならば、f'(x) > 0なので、f(x)は増加
x = kならば、f'(x) = 0なので、f(x)は極大。f(k) = k(k-3k)^2 = 4k^3
k < x < 3kならば、f'(x) < 0なので、f(x)は減少
x = 3kならば、f'(x) = 0なので、f(x)は極小
3k < x ≦ 1ならば、f'(x) > 0なので、f(x)は増加。f(1) = 1*(1-3k)^2 = (1-3k)^2
g(k) = 4k^3-(1-3k)^2 = 4k^3-9k^2+6k-1 = (4k-1)(k-1)^2, 0 < k < 1/3とおくと、
g'(k) = 12k^2-2*(1-3k)*(-3) = 12k^2-18k+6 = 6(k-1)(2k-1)
0 < k < 1/3ならば、g'(k) > 0なので、g(k)は増加
g(0) = -1, g(1/4) = 0, g(1/3) = 4/27-0^2 = 4/27
# k = 0, 1/3はg(k)の定義域外ですが。
よって
0 < k < 1/4ならば、g(k) < 0なので、最大値は(1-3k)^2
1/4 ≦ k < 1/3ならば、g(k) ≧ 0なので、最大値は4k^3
(2)0 < k < 1 ≦ 3kの場合
1/3 ≦ x <(または≦) kならば、f'(x) > 0なので、f(x)は増加
x = kならば、f'(x) = 0なので、f(x)は極大。f(k) = k(k-3k)^2 = 4k^3
k < x ≦ 1ならば、f'(x) < 0なので、f(x)は減少
よって最大値は4k^3
以上をまとめると
0 < k < 1/4ならば、最大値は(1-3k)^2
1/4 ≦ k < 1ならば、最大値は4k^3
0 < k < 1/4のとき、(1-3k)^2 = 1/2とすると、1-3k > 0より、1-3k = 1/√2
よって(1-1/√2)/3 = ((√2)-1)/6 = k
# 1/4-((√2)-1)/6 = (3-2(√2)+2)/12 > 0より、0 < ((√2)-1)/6 < 1/4
1/4 ≦ k < 1のとき、4k^3 = 1/2とすると、k = 1/2
以上から、k = ((√2)-1)/6またはk = 1/2
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