 | 同次ということですからy''+P(x)y'+Q(x)y = R(x)の間違いではないですか?
もし本当にy''+P(x)y'+Q(x) = R(x)の解法ということであれば、
y' = zとおけば、y'' = z'で、z'+P(x)z = R(x)-Q(x)と1階微分方程式になってしまいます。
y''+P(x)y'+Q(x)y = R(x)・・・・・(1)
の解法と仮定して回答します。
y''+P(x)y'+Q(x)y = 0の一般解をy = c1*y1(x)+c2*y2(x)とします。
この時点でc1, c2は定数です。同じ記号を定数とxの関数という2通りの意味に使うのは
混乱の元なので書き方を変えさせてもらいます。
y = u1(x)*y1(x)+u2(x)*y2(x)・・・・・(2)
が(1)の解だと仮定して、関数u1(x),u2(x)が決定できるか試してみます。
2個の関数u1(x),u2(x)を決定するので、2個の条件(2個の微分方程式)が必要です。
1個目の条件は(1)ですから、2個目の条件として
u1'(x)*y1(x)+u2'(x)*y2(x) = 0・・・・・(3)
とすることにしておくだけです。((3)の条件とすると計算が楽になるということが発見されたため)
(2)を(1)に代入して(3)の条件も使うと最終的に
u1'(x)*y1'(x)+u2'(x)*y2'(x) = R(x)・・・・・(4)
が得られ、(3)と連立させればu1(x),u2(x)を決定する(y1(x),y2(x),R(x)で表す)ことができます。
以上から(1)の一般解はy = c1*y1(x)+c2*y2(x)+u1(x)*y1(x)+u2(x)*y2(x)となります。
|