数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 1/cos^3の積分 / Page: 0]

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■34731 / inTopicNo.1)

　1/cos^3の積分

□投稿者/ satsuma 一般人(3回)-(2008/07/29(Tue) 15:50:55)

$2$\displaystyle \displaystyle\int\frac{1}{\cos ^{3}\theta}d\theta$
の値なのですが、一応、部分積分などを使って、
ぐちゃぐちゃやったところ、答えが出たのですが、
$2$\displaystyle \displaystyle\int\frac{1}{\cos \theta}d\theta$
の分母分子に $2$\cos \theta$ をかけるように、
なにかしら、常套手段があるような気がします。
$2$\displaystyle \displaystyle\int\frac{1}{\cos ^{3}\theta}d\theta$
の値をスマートに出すにはどうすれば良いでしょうか。
教えてください。よろしくおねがいします。

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■34732 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 1/cos^3の積分

▲▼■

□投稿者/ サボテン大御所(278回)-(2008/07/29(Tue) 16:09:41)

2008/07/29(Tue) 16:23:12 編集(投稿者)
2008/07/29(Tue) 16:17:57 編集(投稿者)
2008/07/29(Tue) 16:11:00 編集(投稿者)

あまりスマートではないかもしれませんが、

∫dθcosθ/cos^4θ=∫dt/(1-t^2)^2
t=sinθ

=∫dt[1/(1-t)+1/(1+t)]^2/4=∫dt[1/(1-t)^2+1/(1+t)^2]/4 + ∫dt/(1-t^2)/2

∫dt[1/(1-t)^2+1/(1+t)^2]/4 + ∫dt[1/(1-t)+1/(1+t)]/4
= [1/(1-t) -1/(1+t)]/4 + log[(1+t)/(1-t)]/4 + C
=t/{2(1-t^2)] + log[(1+t)/(1-t)]/4 + C

あとは変数を元に戻して、

sinθ/(2cos^2θ) + log[(1+sinθ)/(1-sinθ)]/4 + C

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■34793 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 1/cos^3の積分

▲▼■

□投稿者/ satsuma 一般人(4回)-(2008/08/01(Fri) 11:39:10)

返信が遅くなってすいません。
私はsin,cosのままでやりましたが同じような感じでやりました。
やはり1/(cosx)^3の場合はそのようなやり方でやるのが一番でしょうかね。。
どうもありがとうございました。

解決済み!

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