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■34729 / inTopicNo.1) 　虚数を含む方程式
  ▼■
□投稿者/ やま 一般人(1回)-(2008/07/29(Tue) 15:46:43)
    こんにちは。

    2次関数x^2+(a+i)x-(4+ai)=0が実数解をもつような実数aの値をもとめよ。

    学校の宿題なのですがいくら考えてもわかりません。おねがいします。

    (携帯)
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■34733 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 虚数を含む方程式
□投稿者/ サボテン 大御所(279回)-(2008/07/29(Tue) 16:27:28)
    実数解を持つということは方程式の虚部が0になれば良いわけですから・・・
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■34734 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 虚数を含む方程式
□投稿者/ サボテン 大御所(280回)-(2008/07/29(Tue) 16:55:04)
    x^2+ax-4=0
    x=a
    に分離できます
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■34736 / inTopicNo.4) 　ありがとうございます
□投稿者/ やま 一般人(2回)-(2008/07/29(Tue) 17:21:56)
    サボテンさん早速ありがとうございます！
    実数解をもつから虚部=0、これはなぜでしょうか？

    たとえば(4+i)x+(2+2i)y+8=0を
    (4x+2y+8)+(x+2y)i=0
    4x+2y+8、x+2yが実数なので
    4x+2y+8=0
    x+2y=0とするのと同じですよね？

    先生に実数と虚数がでてきたら、まずは実部と虚部にわけて0にしろと言われたのですが、今回今までと解いたことのないパターン(今までは1次だったのにxの次数が2次であることと、方程式を満たす実数xを求めよという表現がxが実数解をもつという表現である点)だったので、理解できなかったのですが、そもそもなぜ実部虚部にわけるのでしょうか？
    ここを理解できてないのだと思いました。
    参考書を参照したのですがa+bi=c+diであるときa=cかつb=dである。と書いてあるだけで全然わかりません。
    よろしければ教えてください。

    (携帯)
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■34738 / inTopicNo.5) 　Re[4]: ありがとうございます
□投稿者/ WIZ 軍団(133回)-(2008/07/29(Tue) 18:07:41)
    虚数単位が出てきて混乱するというのなら、虚数単位を式から消去(?)することもできます。
    x^2+(a+i)x-(4+ai) = 0
    ⇒ x^2+ax-4 = (-x+a)i
    ⇒ 両辺を2乗して、(x^2+ax-4)^2 = -(-x+a)^2
    ⇒ (x^2+ax-4)^2+(-x+a)^2 = 0

    xもaも実数ですから、x^2+ax-4も-x+aも実数です。
    よって(x^2+ax-4)^2 ≧ 0、かつ(-x+a)^2 ≧ 0です。

    以上から(x^2+ax-4)^2+(-x+a)^2 = 0となるためには
    (x^2+ax-4)^2 = 0、かつ(-x+a)^2 = 0となる必要があります。

    2乗して0になる実数は0だけですから、
    x^2+ax-4 = 0、かつ-x+a = 0といえます。

    # a+bi = c+diも、(a-c)^2+(d-b)^2 = 0と変形できて、これからa-c = 0かつd-b = 0といえますね。
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■34739 / inTopicNo.6) 　Re[4]: ありがとうございます
□投稿者/ miyup 大御所(505回)-(2008/07/29(Tue) 19:46:26)
    ■No34736に返信(やまさんの記事)

    > 2次関数x^2+(a+i)x-(4+ai)=0が実数解をもつような実数aの値をもとめよ。

    これは
    「xが実数のとき x^2+(a+i)x-(4+ai)=0 成り立つような実数aの値をもとめよ」
    ということと同じです。
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■34740 / inTopicNo.7) 　解決です。
□投稿者/ やま 一般人(3回)-(2008/07/29(Tue) 20:09:40)
    >wizさん
    おお!!そういう仕組みでa+bi=c+diのときa=cかつb=dだったのですか。なるほど〜こういう風に教えてくださる学校があったらなと思います。ありがとうございます。

    >miyupさん
    あったしかに言われてみればそうですね、問題文の解釈は難しいですよね。自分なりに解釈してはいけないけれど、ちょっと整理して理解しどう計算していくかの指針をたてるのにはいつも苦労しています。がんばります!ありがとうございます。

    (携帯)
解決済み!
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■34741 / inTopicNo.8) 　Re[2]: 解決です。
□投稿者/ s 一般人(1回)-(2008/07/29(Tue) 23:06:07)
    解決したそうで　参考まで；
    In[1]:=
    Expand[x^2 + (a + I)*x - (4 + a*I)]

    Out[1]=
    -4 - I*a + I*x + a*x + x^2

    In[2]:=
    Solve[{a*x + x^2 - 4 == 0, -a + x == 0},
    {a, x}]

    Out[2]=
    {{a -> -Sqrt[2], x -> -Sqrt[2]},
    {a -> Sqrt[2], x -> Sqrt[2]}}
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