数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: [デルタ関数とフーリエ変換] / Page: 0]

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■34728 / inTopicNo.1)

　[デルタ関数とフーリエ変換]

□投稿者/ 葦一般人(1回)-(2008/07/29(Tue) 15:03:18)

関数f(x)(ー1)^xのフーリエ変換を以下の順序で考える。

(1)(ー1)^x=e^Aとすると、Aはどのようになるか。
(2)デルタ関数の公式を用いて、e^Aのフーリエ変換E(ω)を求めよ。
(3)f(x)(ー1)^xのフーリエ変換G(ω)は、f(x)のフーリエ変換をf(ω)として、E(ω)とのコンボルーションとして計算できる。すなわち、
G(ω)=∫[-∞ to ∞]F(λ)E(ωーλ)dλ
なるG(ω)をF(ω)の形式を用いて表せ

という問題ですが、全然分かりません。
どなたかご教授お願いします。

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■34730 / inTopicNo.2)

　Re[1]: [デルタ関数とフーリエ変換]

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□投稿者/ サボテン大御所(277回)-(2008/07/29(Tue) 15:48:40)

2008/07/29(Tue) 16:37:17 編集(投稿者)
2008/07/29(Tue) 16:00:56 編集(投稿者)

(1)πix+2πkix k∈Z

以下k=0の場合のみ

(2)δ(ω)=1/(2π)∫_{-∞,∞}exp(-iωx)dx
より、∫_{-∞,∞}exp(πix)exp(iωx)dx=∫_{-∞,∞}exp(i(π+ω)x)dx
=2πδ(π+ω)

(3)G(ω)=1/(2π)∫[-∞,∞]F(λ)E(ωーλ)dλ
において、(2)より、E(ω)=2πδ(π+ω)より、
　　G(ω)=∫[-∞,∞]F(λ)δ(π+ωーλ)dλ=F(π+ω)

(2πの因子が余分についているのはFourier変換の定義の仕方に依ります)

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■34737 / inTopicNo.3)

　Re[2]: [デルタ関数とフーリエ変換]

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□投稿者/ 葦一般人(3回)-(2008/07/29(Tue) 17:23:29)

■No34730に返信(サボテンさんの記事)
> 2008/07/29(Tue) 16:37:17 編集(投稿者)
> 2008/07/29(Tue) 16:00:56 編集(投稿者)
> > (1)πix+2πkix k∈Z
> > 以下k=0の場合のみ
これってどんな変換を使ってこの式にしたのですか？
すみませんが、ご教授願います。

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■34744 / inTopicNo.4)

　Re[3]: [デルタ関数とフーリエ変換]

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□投稿者/ サボテン大御所(281回)-(2008/07/30(Wed) 10:26:57)

e^(πi)=-1
及び、e^(2πik)=1 (if k∈Z)を利用しています。

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■34751 / inTopicNo.5)

　Re[4]: [デルタ関数とフーリエ変換]

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□投稿者/ 葦一般人(4回)-(2008/07/30(Wed) 20:34:55)

> > (2)δ(ω)=1/(2π)∫_{-∞,∞}exp(-iωx)dx
> より、
> ∫_{-∞,∞}exp(πix)exp(iωx)dx
> =∫_{-∞,∞}exp(i(π+ω)x)dx
> =2πδ(π+ω)

で2行目から3行目の変換で、どうしても
2πδ(π+ω)
ではなく
2πδ(π－ω)
になると思いますが、どうでしょうか？

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