 | fof(x)がf(f(x))の意味と解釈して解答します。
力技で計算するしかないと思います。
f(x) = (ax+b)/(cx+d)ですから、
f(f(x)) = {a*(ax+b)/(cx+d)+b}/{c*(ax+b)/(cx+d)+d}
= {a*(ax+b)+b*(cx+d)}/{c*(ax+b)+d*(cx+d)}
= {(a^2+bc)x+(ab+bd)}/{(ac+cd)x+(bc+d^2)}
= x
⇒ (a^2+bc)x+(ab+bd) = x*{(ac+cd)x+(bc+d^2)}
⇒ (ac+cd)x^2+(bc+d^2-a^2-bc)x-(ab+bd) = c*(a+d)x^2+(d-a)(d+a)x-b*(a+d) = 0
上記がxについて恒等式であることが必要です。
よって
c*(a+d) = 0・・・・・(1)
(d-a)(d+a) = 0・・・・・(2)
b*(a+d) = 0・・・・・(3)
(1)(2)(3)から、以下の場合が考えられます。
(A)a+d = 0 (ad-bc ≠ 0より、bc ≠ -ad = a^2 = d^2)
(B)c = 0, d-a = 0, b = 0 (ad-bc ≠ 0より、ad ≠ 0)
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