数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 変曲点 / Page: 0]

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■34721 / inTopicNo.1)

　変曲点

▼■

□投稿者/ S 一般人(5回)-(2008/07/28(Mon) 21:43:37)

お願いします。　f(x,y)=y^2-(x^3+x)とする。
C^2において　f(x,y)=0　の　変曲点　を　すべて求めよ。

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■34727 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 変曲点

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□投稿者/ stars 一般人(1回)-(2008/07/29(Tue) 10:00:14)

グラフはx=0で対称。
y=0は変曲点ではない。
y>0について考える。

$2$ f(x,y) = y^2 - (x^3 + x) = 0$

$2$ \frac{{dx}}{{dy}} = \frac{{2y}}{{{\rm 3x}^{\rm 2} + {\rm 1}}}$

$2$ \frac{{d^2 x}}{{dy^2 }} = \frac{{2\left( {9x^4 + 6x^2 - 12xy^2 + 1} \right)}}{{\left( {{\rm 3x}^{\rm 2} + {\rm 1}} \right)^3 }}$

$2$ \frac{{d^2 x}}{{dy^2 }} = 0$
とおくと、
$2$ 9x^4 + 6x^2 - 12xy^2 + 1 = 0$
$2$ {\rm 3}x^4 {\rm + 6}x^2 {\rm - 1 = 0}$

$2$ x^2 = ( - 3 + 2\sqrt 3 )/3$
x>0では
$2$ x = \frac{{\sqrt {{\rm 2}\sqrt 3 {\rm - 3}} }}{{\sqrt 3 }}$
この前後でdx/dyの符号が変わるので変曲点。

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