 | ＤＡＮＤＹ Ｕさんの証明は式変形の途中で、
Σ[k=1,n](k) = n(n+1)/2という関係式を使用していますね。
つまり題意はΣ[k=1,n](k^3) = {n(n+1)/2}^2を証明せよと同意と解釈したことになります。
Σ[k=1,n](k) = n(n+1)/2という関係式は仮定して良いのかどうか分かりませんが
もし仮定しないのなら以下のようになると思います。
nを自然数として、a[n] = Σ[k=1,n](k^3)-{Σ[k=1,n](k)}^2とおきます。
a[1] = 0は容易に分かります。
a[n+1]-a[n] = (n+1)^3-({Σ[k=1,n+1](k)}^2-{Σ[k=1,n](k)}^2)
= (n+1)^3-(Σ[k=1,n+1](k)-Σ[k=1,n](k))(Σ[k=1,n+1](k)+Σ[k=1,n](k))
= (n+1)^3-(n+1)(n+1+2Σ[k=1,n](k))
= (n+1){(n+1)^2-(n+1+2Σ[k=1,n](k)}
= (n+1){n^2+n-2Σ[k=1,n](k)}
b[n] = n^2+n-2Σ[k=1,n](k)とおきます。
b[1] = 1^2+1-2*1 = 0です。
b[n+1]-b[n] = {(n+1)^2+(n+1)-2Σ[k=1,n+1](k)}-{n^2+n-2Σ[k=1,n](k)}
= n^2+3n+2-2Σ[k=1,n+1](k)-n^2-n+2Σ[k=1,n](k)
= 2n+2-2(n+1) = 0
よってb[n]は初項0、公差0の数列ですから任意の自然数nについてb[n] = 0です。
a[n+1]-a[n] = (n+1)b[n]でしたから、a[n]も初項0、公差0の数列です。
以上から任意の自然数nについて、a[n] = 0 = Σ[k=1,n](k^3)-{Σ[k=1,n](k)}^2
# b[n] = 0は、(n^2+n)/2 = Σ[k=1,n](k)と同値です。
# a[n] = 0は、{(n^2+n)/2}^2 = Σ[k=1,n](k^3)と同値です。
# 結局全体の証明の中でΣ[k=1,n](k) = n(n+1)/2という関係式を証明しただけですが・・・。
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