 | 横から失礼します。
> 一行目の変形がよくわからないんですが・・
> どうやって部分積分するんですか？
一行目の部分は一問目を解くための補助的な式変形です。
部分積分は
(uv)' = u'v+uv' ⇒ u'v = (uv)'-uv' ⇒ ∫u'vdx = uv-∫uv'dx
と導きますよね?
上記で、u = x, v = 1/(x^2+1)とすれば、u' = 1, v' = -2x/(1+x^2)^2ですから
∫1*{1/(x^2+1)}dx = x*1/(x^2+1)-∫{x*(-2x/((1+x^2)^2)}dx = x/(x^2+1)+2∫{x^2/((1+x^2)^2)}dx
= x/(x^2+1)+2∫{(1+x^2-1)/((1+x^2)^2)}dx = x/(x^2+1)+2∫{1/(1+x^2)}dx-2∫{1/((1+x^2)^2)}dx
整理して(途中計算を省いて)書くと
∫{1/(x^2+1)}dx = x/(x^2+1)+2∫{1/(1+x^2)}dx-2∫{1/((1+x^2)^2)}dx
右辺と左辺に同じ不定積分があるので移項すると
2∫{1/((1+x^2)^2)}dx = x/(x^2+1)+∫{1/(1+x^2)}dx
⇒ ∫{1/((1+x^2)^2)}dx = (1/2)x/(x^2+1)+(1/2)∫{1/(1+x^2)}dx・・・・・(1)
となります。
(1)の右辺の∫{1/(1+x^2)}dxの積分方法も分からないということですよね?
x = tan(t)と置換します。dx = ((tan(t))^2+1)dt ⇒ dx/(1+x^2) = dtですから
∫{1/(1+x^2)}dx = ∫dt = t = arctan(x)となります。
二問目はXさんの示された方法にはちょとした間違いがあり、
> (x-3/2)/2=tと置きましょう。
ではなく、x-3/2 = (1/2)tと置換します。
∫dx/{(x-2)(1-x)}^(1/2) = ∫dx/(-2+3x-x^2)^(1/2) = ∫dx/{1/4-(x-3/2)^2}^(1/2)
ここでx-3/2 = (1/2)tと置換すると、dx = (1/2)dtです。
∫dx/{1/4-(x-3/2)^2}^(1/2) = ∫(1/2)dt/{1/4-t^2/4}^(1/2) = ∫dt/{1-t^2}^(1/2)
上記で更にt = sin(u)と置換すると、dt = cos(u)*duです。
逆三角関数は主値をとるものとして、-π/2 ≦ arcsin(t) ≦ π/2, 0 ≦ arccos(t) ≦ πとすると
-π/2 ≦ u ≦ π/2の範囲で、cos(u) ≧ 0なので、
∫dt/{1-t^2}^(1/2)
= ∫cos(u)*du/(1-(sin(u))^2)^(1/2)
= ∫cos(u)*du/((cos(u))^2)^(1/2)
= ∫cos(u)*du/cos(u)
= ∫du = u = arcsin(t) = arcsin(2(x-3/2)) = arcsin(2x-3)
このままでも答えなのですが、解答と違い気持ちが悪いというのなら、以下の変形ができます。
逆三角関数は主値をとるものとして、-π/2 < arctan(t) < π/2とします。
arcsin(a) = bとすると、a = sin(b)です。-π/2 < b < π/2の範囲で、cos(b) > 0なので、
⇒ tan(b) = sin(b)/cos(b) = sin(b)/(1-(sin(b))^2)^(1/2) = a/(1-a^2)^(1/2)
⇒ arcsin(a) = b = arctan(a/(1-a^2)^(1/2))
という関係があります。
上記を用いれば、a = 2x-3, b = arcsin(a)として
b = arcsin(2x-3) = arctan((2x-3)/{1-(2x-3)^2}^(1/2))
= arctan((2x-3)/{-8+12x-4x^2}^(1/2))
= arctan((2x-3)/{4*(1-x)(x-2)}^(1/2))
= arctan((1/2){(x-2)-(1-x)}/{(1-x)(x-2)}^(1/2))
= arctan((1/2){(x-2)/(1-x)}^(1/2)-(1/2){(1-x)/(x-2)}^(1/2))
ここで、c = {(x-2)/(1-x)}^(1/2)とおけば、b = arctan((1/2)c-(1/2)(1/c))です。
⇒ tan(b) = (1/2)(c-1/c)
更にc = tan(d)とおくと、1/c = tan(π/2-d)です。
⇒ 2*tan(b) = tan(d)-tan(π/2-d)
更に三角関数の加法定理より
tan(d-(π/2-d)) = (tan(d)-tan(π/2-d))/(1+tan(d)*tan(π/2-d))
= 2*tan(b)/(1+c*(1/c)) = 2*tan(b)/2 = tan(b)
⇒ 2d-π/2 = b
以上から
∫dx/{(x-2)(1-x)}^(1/2) = b = arcsin(a) = 2d-π/2 = 2*arctan(c)-π/2
= 2*arctan({(x-2)/(1-x)}^(1/2))-π/2
となります。
# 上記の-π/2は積分定数に淘汰されますので、解答には
# ∫dx/{(x-2)(1-x)}^(1/2) = 2*arctan({(x-2)/(1-x)}^(1/2))と書いてあるものと考えられます。
## 計算はしていませんが、別掲示板に同じ問題が(マルチ?)ポストされていて、
## そちらの回答にt = √{(x-2)/(1-x)}とおくと書かれていますね。
## この置換の方がより簡単に解答と同じ式に到達できるのかもしれません。
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