数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 外積に関する問題の証明 / Page: 0]

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■34620 / inTopicNo.1)

　外積に関する問題の証明

▼■

□投稿者/ ＴＯＭＯ一般人(1回)-(2008/07/24(Thu) 09:46:48)

次の式を証明せよ。
d/dx(A×B)=(dA/dt)×B+A×(dB/dt)

どなたか教えてください。お願いします。

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■34622 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 外積に関する問題の証明

▲▼■

□投稿者/ シュウヘイ一般人(1回)-(2008/07/24(Thu) 10:43:31)

$2$ \frac{d}{{dt}}\left( {A \times B} \right) = \frac{{dA}}{{dt}} \times B + A \times \frac{{dB}}{{dt}}$
を示す。デカルト座標で表して、x成分を考える。
$2$ \left( {A \times B} \right)_x = A_y B_z - A_z B_y$
を時間で微分すると、
デカルト座標では、基底の時間微分は０なので
$2$ \left[ {\frac{d}{{dt}}\left( {A \times B} \right)} \right]_x = \frac{d}{{dt}}\left( {A_y B_z - A_z B_y } \right)$
$2$ = \frac{{dA_y }}{{dt}}B_z - \frac{{dA_z }}{{dt}}B_y + A_y \frac{{dB_z }}{{dt}} - A_z \frac{{dB_y }}{{dt}}$

$2$ \frac{{dA_z }}{{dt}} = \left[ {\frac{{dA}}{{dt}}} \right]_z$ , $2$ \frac{{dA_y }}{{dt}} = \left[ {\frac{{dA}}{{dt}}} \right]_y$ ， $2$ \frac{{dB_z }}{{dt}} = \left[ {\frac{{dB}}{{dt}}} \right]_z$ ， $2$ \frac{{dB_y }}{{dt}} = \left[ {\frac{{dB}}{{dt}}} \right]_y$
だから、

$2$ = \left[ {\frac{{dA}}{{dt}} \times B} \right]_x + \left[ {A \times \frac{{dB}}{{dt}}} \right]_x$

$2$ = \left[ {\frac{{dA}}{{dt}} \times B + A \times \frac{{dB}}{{dt}}} \right]_x$
y,z成分についても同様。

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