数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 線形代数の問題 / Page: 0]

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■3457 / inTopicNo.1)

　線形代数の問題

□投稿者/ たうとー一般人(1回)-(2005/08/30(Tue) 14:42:30)

問題が解けないので教えていただきたいのです！よろしくお願いします

1、任意の行列Ｘに対してＸ＾ｔ×Ｘ（ｔは転置でなくダガー？とかいうらしいです）がエルミート行列となるか否か調べよ

2、Ａ、Ｂはｎ×ｎエルミート行列であり、Ｃ＝ＡＢとする、
∑（i=1からｎまで）Ｃiiは実数となるか否か調べよ。

よろしくおねがいします

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■3461 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 線形代数の問題

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□投稿者/ LP 軍団(143回)-(2005/08/30(Tue) 16:15:29)

■No3457に返信(たうとーさんの記事)
> 問題が解けないので教えていただきたいのです！よろしくお願いします
>
> 1、任意の行列Ｘに対してＸ＾ｔ×Ｘ（ｔは転置でなくダガー？とかいうらしいです）がエルミート行列となるか否か調べよ
>
m*n行列Xの成分表示をX=(a[ij])とすれば(1≦i≦m,1≦j≦n)
随伴行列X†はX†=(a[ji]~) 　　右上の~は共役複素数を表しているとしてください
よってX†*X=(∑(a[ij]a[ji]~))
また(X†*X)†=(∑(a[ji]~a[ij])より
X†*X=(X†*X)†となるので
エルミート行列となる

> 2、Ａ、Ｂはｎ×ｎエルミート行列であり、Ｃ＝ＡＢとする、
> ∑（i=1からｎまで）Ｃiiは実数となるか否か調べよ。
A,Bはエルミート行列よりA=(a[ij])=(a[ji]~),B=(b[ij])=(b[ji]~)が成り立っている
C=ABから
C=(∑(a[ij]b[ij])=(∑(a[ji]~b[ji]~))
j=iとすれば
∑(a[ii]b[ii])=∑(a[ii]~b[ii]~)=(∑(a[ii]b[ii]))~
よってCの対角成分C[ii]は実数である

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■3463 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 線形代数の問題

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□投稿者/ kotatu 一般人(11回)-(2005/08/30(Tue) 16:49:13)

2.
Ａがエルミート行列であることより、A＝A†＝(tA)~
A＝(aik)、とおくと、aik＝aki~(共役複素数）、よって、aik~＝aki 、同様に
B＝(bik)、とおくと、bik＝bki~、また
C＝(cik) とおくと、Ｃ＝ＡＢ　　より、
cii＝Σ[k=1,n] aik・bki だから、cii~＝Σ[k=1,n] aik~・bki~＝Σ[k=1,n] aki・bik
（Σ[i=1,n] cii）~＝Σ[i=1,n] (cii)~
＝Σ[i=1,n]｛Σ[k=1,n] aki・bik｝、（i→s、k→t と書き換えて）
＝Σ[s=1,n]｛Σ[t=1,n] ats・bst｝
＝Σ[t=1,n]｛ Σ[s=1,n]ats・bst｝、（t→i、s→k と書き換えて）
＝Σ[i=1,n]｛ Σ[k=1,n]aik・bki｝
＝Σ[i=1,n] cii
よって、Σ[i=1,n] cii　　は実数。

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■3466 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 線形代数の問題

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□投稿者/ kotatu 一般人(12回)-(2005/08/30(Tue) 17:21:07)

2005/08/30(Tue) 17:30:01 編集(投稿者)

1。
†の定義：(tH)~＝t(H~)＝H†、（~は共役複素数、tは転置）
エルミート行列の定義：H†＝H
[証明]
Y＝(Ｘ†)Ｘ　　とおくと
Y†＝{(Ｘ†)Ｘ}†＝t{(Ｘ†)Ｘ}~＝{(tX) t(Ｘ†)}~＝{(tX) t(tX~)}~＝{(tX) X~}~
＝(tX)~ (X~)~＝(tX)~ X＝(Ｘ†)X＝Y
よって、Y＝(Ｘ†)Ｘ　　は　エルミート行列。

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