 | (1)
P[n](x[n],x[n]^2)
と置くと直線P[n]P[n+1]の傾きは
(x[n+1]^2-x[n]^2)/(x[n+1]-x[n])=x[n+1]+x[n]
∴点P[n+1]を通り、直線P[n]P[n+1]に垂直な直線の方程式は
y={-1/(x[n+1]+x[n])}(x-x[n+1])+x[n+1]^2 (A)
(A)と
y=x^2 (B)
とを連立して解きP[n+2]の座標を求めることにより
x[n+2]=-x[n+1]-1/(x[n+1]+x[n]) (C)
後はこの漸化式を解けばよいわけですが
x[n+1]+x[n]=X[n]
と置くと(C)は
X[n+1]=-1/X[n]
∴X[n]={(-1)^(n-1)}X[1]^{(-1)^(n-1)}
X[1]=x[2]+x[1]=1
により
X[n]=(-1)^(n-1)
∴x[n+1]+x[n]=(-1)^(n-1)
後は両辺を(-1)^(n+1)で割って
x[n]/(-1)^n=u[n]
と置きましょう。
こちらの計算では求める座標は
((n-1)(-1)^n,(n-1)^2)
となりました。
(2)
(1)の結果から
P[n]P[n+1]^2={n(-1)^(n+1)-(n-1)(-1)^n}^2+{n^2-(n-1)^2}^2
=2(2n-1)^2
P[n+1]P[n+2]^2=2(2n+1)^2
∴
P[n]P[n+1]=(2n-1)√2
P[n+1]P[n+2]=(2n+1)√2
ですので
辺P[n]P[n+1]⊥辺P[n+1]P[n+2]
に注意すると
S[n]=(1/2){P[n]P[n+1]}{P[n+1]P[n+2]}
=(4n^2-1)
後は1/S[n]を部分分数分解すれば問題の無限級数を求めることができます。
こちらの計算では求める値は
1/2
となりました。
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