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■34521 / inTopicNo.1)

　数列と数学ⅢCの複合問題を教えてください

□投稿者/ ＭＣＵ一般人(1回)-(2008/07/21(Mon) 21:52:36)

三角形Ａ0Ｂ0Ｃ0の内心をＩ0とし、その内接円と線分Ａ0Ｉ0、Ｂ0Ｉ0、Ｃ0Ｉ0との交点をそれぞれＡ1、Ｂ1、Ｃ1とする。
次に、三角形Ａ1Ｂ1Ｃ1の内心をＩ1とし、その内接円と線分Ａ1Ｉ1、Ｂ1Ｉ1、Ｃ1Ｉ1との交点をそれぞれＡ2、Ｂ2、Ｃ2とする。

これを繰り返してできた三角形ＡnＢnＣnの内心をＩn（n=0,1,2,…）とし、∠ＢnＡnＣn=θnとする。

θ(n+1)をθnを用いて表せ。

この問題、私が図を書いて必死に解いても、θn+1=θnにしかなりません。
どなたか分かる方、よろしくお願いします。

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■34528 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数列と数学ⅢCの複合問題を教えてください

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□投稿者/ WIZ 軍団(109回)-(2008/07/21(Mon) 23:05:21)

kを非負整数として、△A[k]B[k]C[k]とその内接円の中心I[k]と
内接円と線分A[k]I[k]の交点A[k+1]、内接円と線分B[k]I[k]の交点B[k+1]、
内接円と線分C[k]I[k]の交点C[k+1]を作図してみます。

円周角と中心角の関係から、
∠B[k]I[k]C[k] = 2∠B[k+1]A[k+1]C[k+1] = 2θ[k+1]・・・・・(1)

また内接円と線分B[k]C[k]の接点をP[k]、内接円と線分C[k]A[k]の接点をQ[k]、
内接円と線分A[k]B[k]の接点をR[k]とします。

△A[k]Q[k]I[k]と△A[k]R[k]I[k]は合同な直角三角形です。
△B[k]P[k]I[k]と△B[k]R[k]I[k]は合同な直角三角形です。
△C[k]P[k]I[k]と△C[k]Q[k]I[k]は合同な直角三角形です。
⇒ ∠B[k]I[k]C[k] = ∠B[k]I[k]P[k]+∠C[k]I[k]P[k] = ∠B[k]I[k]R[k]+∠C[k]I[k]Q[k]
⇒ ∠Q[k]I[k]R[k] = 2π-2∠B[k]I[k]C[k] = 2π-4θ[k+1]
⇒ θ[k] = ∠Q[k]A[k]R[k] = π-∠Q[k]I[k]R[k] = π-(2π-4θ[k+1]) = 4θ[k+1]-π

以上から、θ[k+1] = (θ[k]+π)/4

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■34545 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 数列と数学ⅢCの複合問題を教えてください

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□投稿者/ ＭＣＵ一般人(2回)-(2008/07/22(Tue) 07:17:26)

作図してみると、とてもよく分かりました。
素晴らしいです。ＷＩＺさん、ありがとうございました。

解決済み!

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