 | そのまま解くというのは、
∬(D) sin{(πy)/√x} dxdy=∫[1→2]∫[-√x→√x]sin{(πy)/√x} dxdy
を計算する、という意味です。
もう１つの質問についてですが、少し誤解があるようです。
二重積分は、先ほども言ったように体積を求めるものなので、
注意しなくてはいけないのは、f(x,y)の正、負です。
∬(D) √x dxdy (D={(x,y) l x^(2)+y^(2)≦x})
この問題はf(x,y)=√x≧0なので、Dがどのような範囲であろうと、
∬(D) √x dxdy ≧0となります。
また、√xはyに依存していないので、yが正であろうが負であろうが、xが同じ値であればその値は同じですよね。
それに、x^(2)+y^(2)≦xはx軸対称なので、
積分範囲をyが正のときと負のときに分けたとき、その２つの積分値は同じです。
よって２倍として解くことができます。
かなり分かりにくい説明になってしまったかもしれませんが、
とにかくf(x,y)とxy平面に囲まれた体積をイメージして、f(x,y)の正負を
考慮すれば、少しは分かりやすくなるのではないかと思います。
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