数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[8]: 2重積分 / Page: 0]

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■34435 / inTopicNo.1)

　2重積分

□投稿者/ まい一般人(5回)-(2008/07/19(Sat) 20:44:42)

∬(D) (x^(2)+y^(2))dxdy

(D={(x,y) l (x^(2))/(a^(2))+(y^(2))/(b^(2))≦1}

を解けという問題なのですが、
x=arcosθ
y=brsinθと置いてrの範囲を調べると、-1≦r≦1
となったのですが合ってますでしょうが？

これを用いて最後まで計算すると、(π/4)ab(a^(2)+b^(2))と答えにはあるんですが0になってしまうんです；

どなたか分かる方いましたら、ご教授お願いします；

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■34442 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 2重積分

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□投稿者/ grin 一般人(33回)-(2008/07/19(Sat) 22:07:12)

rの範囲を0≦r≦1 とし、θの範囲を0≦θ≦2π
としましょう。

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■34444 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 2重積分

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□投稿者/ まい一般人(6回)-(2008/07/19(Sat) 22:16:51)

返信ありがとうございます！！

rの範囲なのですが、最初に与えられているDの範囲に、
それぞれx=arcosθとy=brsinθを代入するとr^(2)となりますよね？
これが、r^(2)≦1となって、
r^(2)=1
r=±1となるのですが、なぜ0≦r≦1という範囲になるんですか？；

宜しくお願いします。

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■34446 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 2重積分

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□投稿者/ grin 一般人(34回)-(2008/07/19(Sat) 22:58:34)

言葉では少し説明しにくいのですが、
例えば
x^2+y^2≦1 を考え、x=rcosθ、y=rsinθ とおくことにします。
このとき例えば、(x,y)=(0,1)に対応する(r,θ)の組を考えると(0≦θ≦2π)、
0≦r≦1にした場合は、(r,θ)=(1,π/2)と一意に決まりますが、
-1≦r≦1にすると、(r,θ)=(1,π/2),(-1,3π/2)となり、重複してしまいます。
したがって0≦r≦1とします。

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■34447 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 2重積分

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□投稿者/ まい一般人(7回)-(2008/07/19(Sat) 23:17:25)

ということは、"重複"してしまうからrの範囲を0からにするってことでしょうか？？

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■34448 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 2重積分

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□投稿者/ grin 一般人(35回)-(2008/07/19(Sat) 23:28:01)

そういうことになりますね。
0≦r≦1、0≦θ≦2π　で半径1の円内の全ての点を表すことが出来るので、
これ以外の範囲の条件は不要です。