 | arccos(x) = arctan(√5)の解法ということですよね?
arccos(x) = arctan(√5) = tとおくと、
cos(t) = x・・・・・(1)
tan(t) = √5・・・・・(2)
です。
逆三角関数は主値(の一部)を取るものとして、0 ≦ t ≦ π/2とすると、
sin(t) ≧ 0, cos(t) ≧ 0なので、sin(t) = √(1-(cos(t))^2)・・・・・(3)
(1)(2)(3)より、
√5 = tan(t) = sin(t)/cos(t) = (√(1-(cos(t))^2))/cos(t) = (√(1-x^2))/x
⇒ (√5)x = √(1-x^2)
⇒ 両辺を2乗して、5x^2 = 1-x^2
⇒ 6x^2 = 1
⇒ x^2 = 1/6
⇒ x = ±1/√6(必要条件)。但しcos(t) ≧ 0なので、x = 1/√6(必要十分条件)となります。
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