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■34285 / inTopicNo.1) 　積分
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□投稿者/ T.K 一般人(1回)-(2008/07/14(Mon) 00:15:21)
    置換積分法　・f(X,Y)がX,Yの有利関数とすると、
    ∫ｆ（sinx,cosx）dxのとき
    tan(x/2)とおくと、sinx=2t/(1+t^2),cosx=(1-t^2)/(1+t^2),dx=2/(1+t^2)dt

    上記の置換積分を使うようなのですが次の問題がわかりません。
    次の不定積分を求めよ。
    ∫(cos^2x*sinx/1+cos^2x)dx
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■34300 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 積分
□投稿者/ WIZ 付き人(87回)-(2008/07/14(Mon) 11:31:19)
    不定積分I = ∫((cos(x))^2)*sin(x)/(1+(cos(x))^2)dxを求めよという問題と解釈して回答します。

    t = tan(x/2)とおくと、sin(x) = 2t/(1+t^2), cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2), dx = 2dt/(1+t^2)です。

    I = ∫{((1-t^2)/(1+t^2))^2)*(2t/(1+t^2))}/{1+((1-t^2)/(1+t^2))^2}*2dt/(1+t^2)
    = ∫{(1-t^2)*2t}/{(1+t^2))^2+((1-t^2)}*2dt
    = ∫{(1-t^2)*t}/{2+2t^4}dt
    = (1/2)∫{t-t^3}/{1+t^4}dt
    = (1/2){∫t/(1+t^4)dt-∫t^3/(1+t^4)dt}

    J = ∫t/(1+t^4)dt, K = ∫t^3/(1+t^4)dt, I = (1/2)(J-K)とおきます。

    Jにおいて、t^2 = uと置換します。2tdt = duです。
    J = ∫(1/2)du/(1+u^2) = (1/2)arctan(u) = (1/2)arctan(t^2)

    Kにおいて、t^4 = vと置換します。4t^3*dt = duです。
    K = ∫(1/4)dv/(1+v) = (1/4)log(1+v) = (1/4)log(1+t^4)

    以上から
    I = (1/2)((1/2)arctan(t^2)-(1/4)log(1+t^4))
    = (1/4)arctan((tan(x/2))^2)-(1/8)log(1+(tan(x/2))^4)

    # 積分定数は省略しています
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■34316 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 積分
□投稿者/ T.K 一般人(3回)-(2008/07/15(Tue) 00:56:25)
    ありがとうございました
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