 | 体積の計算は(1)(2)いずれの場合も回転軸がx軸、又はy軸と平行となるように回転移動させて計算します。
(いずれの場合も図を描いて考えましょう。)
(1)
前半)
√x+√y=√a (A)
より
y=(√a-√x)^2 (A)'
x+y=a (B)
より
y=a-x (B)'
(A)のグラフが(B)のグラフの下側にあることに注意すると
求める面積をSとして
S=∫[0→a]{(a-x)-(√a-√x)^2}dx
=…
後半)
(A)上の点(x,y)を原点中心に45°の回転移動をさせて点(X,Y)に移したとすると
点(X,Y)は原点中心に-45°の回転移動をさせて点(x,y)に移ることになりますので
x=(1/√2)X+(1/√2)Y
y=-(1/√2)X+(1/√2)Y
これらを(A)に代入して整理すると
Y={1/(a√2)}X^2+a/(2√2)
∴回転移動により(A)は
y={1/(a√2)}x^2+a/(2√2) (A)"
に移ります。
同様な計算により(B)を原点中心に45°の回転移動をさせると
y=a/√2 (B)"
に移ります。
(A)"(B)"の交点のx座標がa/√2,-a/√2
となることに注意して求める体積をV1とすると
V1=π∫[-a/√2→a/√2][{{1/(a√2)}x^2+a/(2√2)-a/√2}^2]dx
=…
(2)
(1)の後半の過程と同様に考えると
(A)と直線y=x,x軸,y軸を原点中心に45°の回転移動をさせたとき
(A)は(A)"に
直線y=xはy軸に
x軸は直線y=xに
y軸は直線y=-xに
それぞれ移動します。
(A)"より
x^2=ay√2-(1/2)a^2
∴求める体積をV2とすると
V2=π∫[0→a/√2](y^2)dy-π∫[0→a/(2√2)]{ay√2-(1/2)a^2}dy
=…
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