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■34260 / inTopicNo.1)  図形と方程式
  
□投稿者/ kaba 一般人(1回)-(2008/07/13(Sun) 11:34:54)
    お初です。
    
    xy平面上に定点O(0.0)をとる。P(x,y)に対して、Oを端点とする半直線OP上に
    点P’を直線OP×直線OP’=1となるようにとる。直線x+y-3=0上をPが動くとき、
    P’の描く曲線の方程式を求めよ。
    
    P(x,y)、P'(tx,ty)とすると
    OP*OP'=t(x^2+y^2)=1
    t=1/(x^2+y^2)
    ここでy=3-xよりP'のx座標をX,y座標をYとすると
    X=x/(2x^2-6x+9) ・・・・(1)
    Y=(3-x)/(2x^2-6x+9)
    x≠0のとき、
    Y/X=(3-x)/x ⇔ xY=3X-xX ⇔ x=3X/(X+Y)
    (1)に代入すると
    X=X(X+Y)/{6X^2-6X(X+Y)+3(X+Y)^2}
    -6XY+3X^2+3Y^2+6XY=X+Y
    3X^2+3Y^2-X-Y=0
    x=0,y=3のとき、X=0,Y=1/3で等号成立。よって(0,1/3)も
    含まれる。
    
    どこか間違っているみたいなので、ご指摘ください。
    お願いします。

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■34262 / inTopicNo.2)  Re[1]: 図形と方程式
□投稿者/ らすかる 大御所(363回)-(2008/07/13(Sun) 13:19:18)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp
    間違いその1
    「直線OP×直線OP’=1」は意味が通じません。

    間違いその2
    x≠0 のとき 3X^2+3Y^2-X-Y=0 ですから、
    これはX≠0の場合に成り立つ式です。
    X=0,Y=1/3 の他に X=0,Y=0 についても検討が必要です。
    (実際、X=Y=0は条件を満たしません。)
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■34263 / inTopicNo.3)  Re[2]: 図形と方程式
□投稿者/ ロボ 一般人(7回)-(2008/07/13(Sun) 14:35:54)
    らすかるさんへ

    > 間違いその1
    > 「直線OP×直線OP’=1」は意味が通じません。

    「(線分OPの長さ)×(線分OP'の長さ) = 1」の意味だと思いますよ。

    > 間違いその2
    > xY=3X-xX ⇔ x=3X/(X+Y)
    > この部分で X+Y≠0 という条件が必要です。

    X+Y = 3/(2x^2-6x+9)です。
    xが実数ならば2x^2-6x+9 = 2(x-3/2)^2+9/2 > 0なので、
    kabaさんが気付いているかどうかは別として「X+Y≠0」は成立します。


    kabaさんへ

    間違いは既にらすかるさんがさらりと書いていますが、単純な計算ミスです。
    x ≠ 0すなわちX ≠ 0の場合、x = 3X/(X+Y)をX = x/(2x^2-6x+9)に代入すると

    X = 3X/(X+Y)/{2(3X/(X+Y))^2-6(3X/(X+Y))+9}
    = 3X(X+Y)/{18X^2-18X(X+Y)+9(X+Y)^2}
    = 3X(X+Y)/{18X^2-18X^2-18XY+9X^2+18XY+9Y^2}
    = 3X(X+Y)/{9X^2+9Y^2}
    = X(X+Y)/{3X^2+3Y^2}

    よって必要条件として3X^2+3Y^2-X-Y = 0となります。
    3Y^2-Y+(3X^2-X) = 0より、Y = (1±√(1^2-12(3X^2-X)))/6 = (1±√(1+12X-36X^2))/6
    Yが実数であるためには、1+12X-36X^2 ≧ 0である必要があります。
    36X^2-12X-1 ≦ 0 ⇒ (1-√2)/6 ≦ X ≦ (1+√2)/6

    2点目の間違いとして「X = 0のときx = 0よってY = 1/3」推論している所です。
    # ここから先あまり自信がないので、識者の方に補足をお願いします。

    xの値に対してyの値とtの値は1つに決まります。よってtx,tyの値も1つに決まります。
    しかし、X = txに対してY = tyが1つに決まるとは直ちには言えません。
    これはX = tx = x/(2x^2-6x+9)より、(2X)x^2-(6X+1)x+(9X) = 0とxの2次方程式になり、
    Xの値に対する xの値は一般に2つの値があることから理解できると思います。

    Xの値に対する xの値が1つに決まるのは、(2X)x^2-(6X+1)x+(9X) = 0の判別式
    (6X+1)^2-4(2X)(9X) = 36X^2+12X+1-72X^2 = -36X^2+12X+1 = 0の場合で、
    X = (1-√2)/6またはX = (1+√2)/6のときのみです。

    # あまり話がまとまってなくてすみません。
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■34268 / inTopicNo.4)  Re[3]: 図形と方程式
□投稿者/ kaba 一般人(2回)-(2008/07/13(Sun) 15:52:42)
    お二方、返信ありがとうございます。

    {X/(x^2+y^2)}+{Y/(x^2+y^2)}-3=0が解答みたいなんですが
    いかがでしょうか?

    あと、完璧な解答(途中式)が知りたいです。自分のだと
    本番で減点されそうなので。時間があればお願いします。
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■34269 / inTopicNo.5)  Re[3]: 図形と方程式
□投稿者/ らすかる 大御所(364回)-(2008/07/13(Sun) 15:58:49)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp
    >ロボさん

    >単純な計算ミスです。

    「単純な計算ミス」とはどこのことですか?

    >Yが実数であるためには、1+12X-36X^2 ≧ 0である必要があります。

    3X^2+3Y^2-X-Y = 0 を満たす点は (1-√2)/6 ≦ X ≦ (1+√2)/6 を満たしますので
    特にこの範囲を書く必要はないのでは?
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■34270 / inTopicNo.6)  Re[4]: 図形と方程式
□投稿者/ ロボ 一般人(8回)-(2008/07/13(Sun) 16:08:24)
    らすかるさんへ

    > 「単純な計算ミス」とはどこのことですか?

    すみません。自分の勘違いでした。
    kabaさんの書き込みで「3X^2+3Y^2-X-Y=0」という式があるので、計算ミスはありませんでした。
    ごめんなさい。


    kabaさんへ

    > {X/(x^2+y^2)}+{Y/(x^2+y^2)}-3=0が解答みたいなんですが

    {X/(X^2+y^2)}+{Y/(X^2+Y^2)}-3 = 0ではないのですか?
    上記なら3X^2+3Y^2-X-Y = 0を変形するだけですが。

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■34272 / inTopicNo.7)  Re[5]: 図形と方程式
□投稿者/ kaba 一般人(3回)-(2008/07/13(Sun) 17:07:43)
    すいません。それが解答でした。
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