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■34164 / inTopicNo.1)

　回転行列

□投稿者/ 3a 付き人(56回)-(2008/07/08(Tue) 19:10:12)

方程式x^2-xy+y^2=3の表す曲線をCとする。
曲線Cを原点のまわりに-45ﾟ回転した曲線の方程式をもとめ、曲線Cの第一象限にある部分がx軸,y軸と囲む図形の面積を求めよ。

という問題で答えが合わないのでできれば途中式とグラフまで教えてください。
お願いします

(携帯)

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■34165 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 回転行列

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□投稿者/ S 一般人(1回)-(2008/07/08(Tue) 21:37:18)

視て;

789×321 => 250×101

1215520638.gif/4KB

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■34166 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 回転行列

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□投稿者/ X ベテラン(247回)-(2008/07/08(Tue) 21:39:53)

2008/07/09(Wed) 11:14:38 編集(投稿者)

C上の点P(x,y)が求める曲線上の点P'(X,Y)に移動したとすると
P'を原点中心に45°回転移動させるとPに移りますから
x=(1/√2)(X-Y)
y=(1/√2)(X+Y)
これらをCの方程式に代入して
(1/2)(X-Y)^2-(1/2)(X-Y)(X+Y)+(1/2)(X+Y)^2=3
これより
X^2+3Y^2=6
よって求める方程式は
x^2+3y^2=6 (A)
つまり楕円になります。
(A)の第一象限の部分の方程式は
x=√(6-3y^2)
Cの第一象限にある図形は(A)のx>0の部分と
直線y=x,y=-x
で囲まれた領域(Dとします)になりますので、求める面積をSとすると
Dのx軸に関する対称性から
S=2∫[0→√(3/2)]{√(6-3y^2)-y}dy
これを計算すると
S=2π/√3
となります。

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■34168 / inTopicNo.4)

　Re:

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□投稿者/ 3a 付き人(57回)-(2008/07/08(Tue) 23:19:43)

知りたいのはx^2-xy+y^2=3の第一象限の面積なので、違いますよね？

(携帯)

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■34169 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 回転行列

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□投稿者/ S 一般人(2回)-(2008/07/08(Tue) 23:29:52)

2008/07/08(Tue) 23:34:50 編集(投稿者)

■No34165に返信(Sさんの記事)
> 視て;
>
In[42]:=
Integrate[1/2*(x + Sqrt[3]*Sqrt[4 - x^2]),
{x, 0, 2}] - Integrate[
1/2*(x - Sqrt[3]*Sqrt[4 - x^2]),
{x, Sqrt[3], 2}]
Simplify[%]

Out[42]=
1/2*(2 + Sqrt[3]*Pi) +
1/2*(-2 - (2*Pi)/Sqrt[3] + Sqrt[3]*Pi)

Out[43]=
(2*Pi)/Sqrt[3]

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■34171 / inTopicNo.6)

　Re:

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□投稿者/ 3a 付き人(58回)-(2008/07/08(Tue) 23:49:42)

読めないのですが……

(携帯)

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■34174 / inTopicNo.7)

　Re[4]: Re:

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□投稿者/ hari 一般人(10回)-(2008/07/09(Wed) 00:32:17)

■No34171に返信(3aさんの記事)
> 読めないのですが……
>
> (携帯)

読めなくても大丈夫ですよ。

さて、45°回転させた楕円をy軸方向に1/√3倍して縮めて半径√2の円にします。
このとき、回転させる前のx軸、y軸はy = ±xに移り、さらにy軸方向に1/√3倍して縮めたのでy = ±(1/√3)xに移ります。
そうすると、求める面積は半径が√2の120°の扇形とわかります。
√3倍して戻すと求める面積は(2√3/3)πと求まります。

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■34176 / inTopicNo.8)

　Re:

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□投稿者/ 3a 付き人(59回)-(2008/07/09(Wed) 03:10:03)

2008/07/09(Wed) 03:19:18 編集(投稿者)

わからないところがあるのですが、式でyを1/√3倍したものを考えてみると半径が√6になるような気がするのですが、これはなぜいけないのでしょうか？

また、なぜ半径が120ﾟの扇形となるのかも少しわからないのでそこのところと計算過程を詳しくお願いします。

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■34179 / inTopicNo.9)

　Re[1]: 回転行列

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□投稿者/ S 一般人(3回)-(2008/07/09(Wed) 08:26:04)

■No34164に返信(3aさんの記事)
> 方程式x^2-xy+y^2=3の表す曲線をCとする。
> 曲線Cの第一象限にある部分がx軸,y軸と囲む図形の面積を求めよ。
>

モンダイは　曲線C;x^2 - xy + y^2 = 3の第一象限にある部分がx軸,
y軸と囲む図形の面積を求めよ。と回転前の C と読めますが...

（回転したのは元のCの正体を悟らせるためでしょう。）
先に添付した図の水色で塗り絵した部分を除外し；コタエ=(2*Pi)/Sqrt[3]

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■34181 / inTopicNo.10)

　Re[1]: 回転行列

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□投稿者/ S 一般人(4回)-(2008/07/09(Wed) 08:57:06)

y=xについてCが対称なので
此処に添付した２倍方式のほうが易しくみえるかも；

579×499 => 250×215

1215561426.gif/6KB

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■34186 / inTopicNo.11)

　Re[2]: 回転行列

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□投稿者/ hari 一般人(11回)-(2008/07/09(Wed) 10:50:59)

2008/07/09(Wed) 11:59:19 編集(投稿者)

間違えて45°回転させてしまっていました。

-45°回転したグラフは $2$ \frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{2} = 1$ なので
x→√3xと変換すればx軸方向に $2$\frac{1}{\sqrt{3}}$ 倍になります。

ということで $2$ \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} = 1$ という円と $2$\|y|=\sqrt{3}x$ の囲む面積を考えることになります。
$2$y = \sqrt{3}x$ とx軸のなす角度は60°ということがわかれば面積はすぐ求められますね。

392×392 => 250×250